[论文解读] Canonical heights, invariant currents, and dynamical systems of morphisms associated with line bundles

Shu Kawaguchi|ArXiv.org|May 1, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文为数域上投影代数簇的多个自同态构成的动力系统中子簇构造了典范高度，推广了Call–Silverman与Zhang在单自同态系统中的工作。该研究建立了一个满足度数d缩放性质的唯一高度函数，并在较弱条件下证明了小高度点的有限性，将结果推广至K3曲面与射影空间。

ABSTRACT

We construct canonical heights of subvarieties for dynamical system of several morphisms associated with line bundles defined over a number field, and study some of their properties. We also construct invariant currents for such systems over $\mathbb{C}$.

研究动机与目标

• 将典范高度构造从单个自同态推广至数域上投影簇的k个自同态系统。
• 将典范高度理论扩展至K3曲面的子簇，包括Wheler的K3曲面及其他特殊族。
• 建立一个在k个自同态作用下满足缩放恒等式的典范高度函数的存在性与唯一性。
• 证明在该类系统中，有界度数且小高度的周期点是有限的。
• 为这些系统在复射影簇上构造不变(1,1)-当前，推广Green当前理论。

提出的方法

• 通过条件 ⨂_{i=1}^k f_i^*(L) ≅ L^{ ensor d}，在数域K上定义与度数d > k的线丛L相关的k个自同态的动力系统。
• 构造一个典范高度函数 ĥ_{L,{f₁,…,fₖ}}: X(overline{K}) → ℝ，满足 ∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x) 且 ĥ = h_L + O(1)。
• 通过非负矩阵与Perron–Frobenius型特征值理论的线性代数方法，证明典范高度的唯一性。
• 当L为非常 ample 且自同态为满射时，建立非负性与零值条件（当且仅当轨道有限时为零）。
• 通过特化方法将高度推广至子簇，并利用Northcott的有限性定理控制小高度点。
• 利用自同态的动力学与正当前理论，在ℂ上构造不变的(1,1)-当前，推广Green当前理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在涉及多个自同态而非单个自同态的系统中，为子簇构造典范高度？
• RQ2 典范高度函数在k个自同态的联合作用下是否满足缩放恒等式？其唯一性如何？
• RQ3 在何种条件下典范高度非负？何时其值为零（表示轨道有限）？
• RQ4 该理论能否推广至具有多重对称性的K3曲面，如Wheler的K3曲面？
• RQ5 此类多自同态系统在ℂ上是否存在不变当前？其与Green当前有何关系？

主要发现

• 在数域上与度数d > k的线丛L相关的k个自同态动力系统中，存在唯一的典范高度函数。
• 对所有x ∈ X(overline{K})，典范高度满足 ∑_{i=1}^k ĥ(f_i(x)) = d·ĥ(x)，且 ĥ = h_L + O(1)。
• 当L为非常 ample 时，对所有x有 ĥ(x) ≥ 0，且 ĥ(x) = 0 当且仅当x在{f₁,…,fₖ}作用下的正向轨道有限。
• 当X为正规且L为非常 ample，自同态为满射时，对任意子簇Y ⊂ X_{overline{K}}，可定义典范高度 ĥ(Y) ≥ 0。
• Wheler的K3曲面(S;σ₁,σ₂)上的典范高度与Silverman的典范高度在标量倍数(1+√3)意义下一致。
• 利用Northcott定理与矩阵特征值论证，证明了有界度数且小典范高度的K-有理点数量是有限的。