[论文解读] Canonical Labeling of Sparse Random Graphs

Oleg Verbitsky, Maksim Zhukovskii|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2024

Graph Labeling and Dimension Problems被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对稀疏 Erdős–Rényi 随机图 G(n, p) 在 p = O(1/n) 时的线性时间规范标号算法，证明了此类图在高概率下可被 O(n log n) 时间内计算出规范标号。该方法结合了颜色细化与线性时间树规范标号，且分析完全刻画了 2-核的自同构群，填补了稀疏随机图图规范标号平均情况复杂度研究中的长期空白。

ABSTRACT

We show that if $p=O(1/n)$, then the Erdős-Rényi random graph $G(n,p)$ with high probability admits a canonical labeling computable in time $O(n\log n)$. Combined with the previous results on the canonization of random graphs, this implies that $G(n,p)$ with high probability admits a polynomial-time canonical labeling whatever the edge probability function $p$. Our algorithm combines the standard color refinement routine with simple post-processing based on the classical linear-time tree canonization. Noteworthy, our analysis of how well color refinement performs in this setting allows us to complete the description of the automorphism group of the 2-core of $G(n,p)$.

研究动机与目标

• 填补在 p = O(1/n) 的情形下 Erdős–Rényi 随机图图规范标号平均情况复杂度的研究空白，此前该情形下尚无高效规范标号方法。
• 为 G(n, p) 在所有边概率区间内提供多项式时间规范标号算法，完成先前关于稠密图与中等稀疏图研究工作的完整图景。
• 在稀疏情形下，尤其是当 p = O(1/n) 时，完全刻画 G(n, p) 的 2-核的自同构群结构。
• 证明在该情形下，颜色细化性能足够好，可与后处理步骤结合，实现高效规范标号。

提出的方法

• 将标准颜色细化（CR）过程与基于经典线性时间树规范标号算法的后处理步骤相结合。
• 分析颜色细化在稀疏随机图上的性能，表明当 p = O(1/n) 时，其以高概率产生离散着色。
• 使用配置模型对 G(n, p) 的 2-核进行建模，并通过交换论证研究环和多重边的分布。
• 通过在包含特定边（如环或多重边）与不包含这些边的匹配之间构造二分匹配，利用度数和权重分析来界定概率。
• 采用随机有界性（OP 记号）证明：2-核中环和多重边的数量是随机有界的，意味着高概率下不存在此类结构。
• 利用 2-核的核化性质及其多重图表示结构，证明其自同构群高概率下是平凡的。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 p = O(1/n) 时，Erdős–Rényi 随机图 G(n, p) 是否存在一种可高效计算的规范标号？
• RQ2 颜色细化算法在 p = O(1/n) 的稀疏随机图上表现如何？其是否可作为规范标号的基础？
• RQ3 在稀疏情形下，特别是当 p = O(1/n) 时，G(n, p) 的 2-核的自同构群结构如何？
• RQ4 当 p = O(1/n) 时，2-核中是否高概率下不存在环或多重边，从而保证其为简单多重图且适合规范标号？

主要发现

• 当 p = O(1/n) 时，G(n, p) 在高概率下可被 O(n log n) 时间内计算出规范标号。
• 当 p = O(1/n) 时，G(n, p) 的 2-核高概率下无环也无多重边，意味着其为简单多重图高概率成立。
• 当 p = O(1/n) 时，G(n, p) 的 2-核的自同构群高概率下是平凡的，即其无非平凡对称性。
• 当 p = O(1/n) 时，颜色细化高概率下产生离散着色（所有顶点颜色互不相同），从而可通过颜色字典序排列实现规范标号。
• 2-核中位于环或多重边上的顶点的期望数量为 Θ(1)，位于至少两个环上的顶点的期望数量为 o(1)，因此此类结构高概率下极为稀少。
• 2-核中环和多重边的数量是随机有界的（OP(1)），且对任意趋于无穷的 an，高概率下此类结构的数量少于 an。