[论文解读] Canonical metric on moduli spaces of log Calabi-Yau varieties

Hassan Jolany|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文利用格林-夏普雷-法拉-姚的半平坦度量，提供了对对数卡斯特勒-亚留型变体模空间上韦伊-彼得森度量的闭式公式的新证明。它建立了对数韦伊-彼得森度量的凯勒势，并通过$L^2$-扩张定理和具有半正曲率的奇异赫米特定量，将其与相对凯勒-里奇流及 plurigenera 的不变性联系起来。

ABSTRACT

In this paper, by applying Greene-Shapere-Vafa-Yau semi-flat metric, we give a new proof of closed formula of Weil-Petersson metric on moduli space of Calabi-Yau varieties.

研究动机与目标

• 推导对数卡斯特勒-亚留型变体模空间上对数韦伊-彼得森度量的凯勒势。
• 利用格林-夏普雷-法拉-姚的半平坦度量构造，重新证明韦伊-彼得森度量的闭式公式。
• 在凯勒设定下，将韦伊-彼得森度量与相对凯勒-里奇流及 plurigenera 的不变性联系起来。
• 建立纤维上凯勒-爱因斯坦度量产生半正曲率电流的条件，从而启用$L^2$-扩张定理。
• 研究典型奇点在凯勒-爱因斯坦族极限中的作用及其对模理论的影响。

提出的方法

• 将格林-夏普雷-法拉-姚的半平坦度量构造应用于对数卡斯特勒-亚留型变体模空间上韦伊-彼得森度量的分析。
• 使用相对凯勒-里奇流方程 $\frac{\partial\omega}{\partial t} = -\text{Ric}_{X/\Delta}(\omega) - \Phi\omega$，其中 $\Phi$ 沿纤维为常数，以研究变形不变性。
• 在 canonical bundle $K_X$ 上构造一个奇异赫米特定量 $h^{\omega_{\text{SKE}}}$，使得其曲率电流 $\Theta_h$ 为半正。
• 依赖 $L^2$-扩张定理，当纤维上凯勒-爱因斯坦度量为半正时，推导出 plurigenera 的不变性。
• 应用 Tsuji-Boucksom 方法，表明若存在满足 $h|_{X_t}$ 为 AZD（几乎处处正）的此类度量 $h$，则可推出 plurigenera 的不变性。
• 利用 Donaldson-Sun 定理作为弱支撑：若纤维具有统一有界直径且负里奇曲率，则中心纤维具有至多典型奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过半平坦几何，利用闭式凯勒势表达对数卡斯特勒-亚留型变体模空间上韦伊-彼得森度量？
• RQ2 在何种条件下，卡斯特勒-亚留型族上的相对凯勒-里奇流会产生半正的纤维上凯勒-爱因斯坦度量？
• RQ3 具有半正曲率和 AZD 限制的奇异赫米特定量的存在性，如何与 plurigenera 的不变性相关联？
• RQ4 在基丛上 Kähler-Einstein 流形的退化中，纤维上一致有界直径与中心纤维奇点之间有何关系？
• RQ5 在凯勒设定下，相对 canonical bundle 的半正性在多大程度上可由相对凯勒-里奇流的解推出？

主要发现

• 对数卡斯特勒-亚留型变体模空间上韦伊-彼得森度量具有通过格林-夏普雷-法拉-姚半平坦度量构造导出的闭式凯勒势。
• 具有纤维常数 $\Phi$ 的相对凯勒-里奇流产生一族度量 $e^{-t}\omega_0 + (1-e^{-t})c_1(K_{X/\Delta})$，这些度量为凯勒度量，并收敛于具有正 canonical 类的极限。
• 若相对凯勒-里奇流有解，则 $c_1(K_{X/\Delta})$ 为正，意味着存在半正的纤维上凯勒-爱因斯坦度量。
• 在 $K_X$ 上构造奇异赫米特定量 $h^{\omega_{\text{SKE}}}$，使其曲率电流半正，且在每根纤维上限制为 AZD，从而可应用 $L^2$-扩张定理。
• 当此类度量 $h$ 存在时，由 $L^2$-扩张定理可推出 plurigenera 的不变性，建立起分析不变量与代数不变量之间的联系。
• 在具有统一有界直径和负里奇曲率的退化中，中心纤维 $X_0$ 必须具有至多典型奇点，支持了相对 canonical bundle 的半正性在极限下蕴含典型奇点的猜想。