[论文解读] Canonical Momenta in Digitized SU(2) Lattice Gauge Theory: Definition and Free Theory

Timo Jakobs, Marco Garofalo+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于 SU(2) 格点规范场论的新型离散化方案，通过离散化 SU(2) 群流形（S³）及其方向导数，在希尔伯特空间中对规范链算符进行对角化。该方法构建了满足基本对易关系（至多含离散化误差）的共轭动量算符，并证明了对卡西米爾算符的直接离散化能准确重现自由理论的谱结构，其收敛速率取决于划分方式的选择。

ABSTRACT

Hamiltonian simulations of quantum systems require a finite-dimensional representation of the operators acting on the Hilbert space H. Here we give a prescription for gauge links and canonical momenta of an SU(2) gauge theory, such that the matrix representation of the former is diagonal in H. This is achieved by discretising the sphere $S_3$ isomorphic to SU(2) and the corresponding directional derivatives. We show that the fundamental commutation relations are fulfilled up to discretisation artefacts. Moreover, we directly construct the Casimir operator corresponding to the Laplace-Beltrami operator on $S_3$ and show that the spectrum of the free theory is reproduced again up to discretisation effects. Qualitatively, these results do not depend on the specific discretisation of SU(2), but the actual convergence rates do.

研究动机与目标

• 为 SU(2) 格点规范场论开发一种适合于哈密顿量模拟的有限维希尔伯特空间表示。
• 定义满足正确对易关系（至多含离散化误差）的共轭动量算符。
• 确保通过对卡西米爾算符的直接离散化，准确重现自由哈密顿量的谱结构。
• 研究 SU(2) 不同离散化方案对收敛速率和数值稳定性的影响。

提出的方法

• 使用对 3-球上点的划分方式，对 SU(2) 群流形（微分同胚于 S³）进行离散化。
• 在离散点上定义方向导数算符以表示共轭动量，确保其近似于连续生成元。
• 将卡西米爾算符构造为动量平方和，并对其实施直接离散化以保持谱性质。
• 利用索博列夫空间到 L² 的嵌入关系分析收敛性与范数-预解行为。
• 比较多种划分方案：RSC、斐波那契、随机均匀（RU）以及距离优化的随机均匀（DoRU）。
• 通过体积收敛测试、对易子、本征值及拉普拉斯-贝尔特拉米算符的算符范数验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数字化的 SU(2) 格点规范场论中，能否一致地定义共轭动量算符，使其基本对易关系在离散化误差范围内得以保持？
• RQ2 对卡西米爾算符的直接离散化是否能在连续极限下重现自由哈密顿量的谱结构？
• RQ3 SU(2) 的不同离散化方案如何影响物理可观测量（如谱和对易子）的收敛行为？
• RQ4 局部聚类与点分布对离散化理论的数值稳定性和收敛速率有何影响？
• RQ5 是否可以对拉普拉斯-贝尔特拉米算符及其预解算符的收敛性进行量化分析，且其表现依赖于划分质量？

主要发现

• 所提出的共轭动量算符满足基本对易关系，其偏差在连续极限下趋于零，证实了与代数结构的一致性。
• 对卡西米爾算符（L² + R²）的直接离散化能准确重现自由哈密顿量的谱结构，而朴素离散化则失败。
• RSC 和优化后的斐波那契划分表现出更优的收敛行为，具有最小的振荡和一致的收敛速率。
• 随机均匀（RU）划分表现出局部聚类，导致在固定 N 下偏差较大，但收敛速率与其他方案相似。
• 距离优化的随机均匀（DoRU）划分在能隙收敛中表现出最小的振幅，表明其稳定性更优，尽管在大 N 时收敛速率可能减缓。
• 对拉普拉斯-贝尔特拉米算符及其预解算符的收敛性进行了定量分析，结果表明其表现依赖于划分质量，DoRU 和 RSC 表现最佳。