[论文解读] Canonical Nonlinear Connections in the Multi-Time Hamilton Geometry

Gheorghe Atanasiu, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文引入了与克罗内克 $h$-正则多时间哈密顿函数相关的对偶 1-喷射丛 $J^{1\bullet}(\tau,M)$ 上的规范非线性联络，将经典哈密顿几何推广至多时间场论。该构造利用 d-张量、多时间广义喷射（多动量）以及推导出的变换律，确保与多动量相空间几何的一致性，为多时间协变哈密顿几何奠定了基础。

ABSTRACT

In this paper we study some geometrical objects (d-tensors, multi-time semisprays of polymomenta and nonlinear connections) on the dual 1-jet vector bundle $J^{1*}(\cal{T}, M) o \cal{T} imes M$. Some geometrical formulas, which connect the last two geometrical objects, are also derived. Finally, a canonical nonlinear connection produced by a Kronecker $h$-regular multi-time Hamiltonian is given.

研究动机与目标

• 通过对偶 1-喷射丛 $J^{1\bullet}(\tau,M) \to \tau \times M$ 建立多时间协变哈密顿场论的几何框架。
• 在对偶 1-喷射空间上定义并表征 d-张量、多时间广义喷射（多动量）及非线性联络。
• 从克罗内克 $h$-正则多时间哈密顿函数导出规范非线性联络。
• 将经典哈密顿几何从余切丛推广至多参数、多动量设定。
• 为包含 d-挠率与 d-曲率的完整多时间 d-联络理论奠定基础。

提出的方法

• 研究在对偶 1-喷射向量丛 $J^{1\bullet}(\tau,M) \to \tau \times M$ 上进行，配备局部坐标 $(t^a, x^i, p_i^a)$。
• 作者利用基本垂直度量 d-张量 $G_{(a)(b)}^{(i)(j)} = h_{ab}(t^c)g^{ij}(t^c,x^k,p_k^c)$ 定义 d-张量与多时间广义喷射（多动量）。
• 通过哈密顿函数 $H$ 及其二阶导数导出的局部函数构造非线性联络 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$。
• 时间分量 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ 依赖于时间度量 $h_{ab}$ 的克里斯托费尔符号。
• 空间分量 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ 由广义克里斯托费尔符号 $\Gamma_{ij}^k$ 与哈密顿函数的偏导数导出，其中 $T_{(i)j}^{(a)}$ 确保张量性变换行为。
• 通过局部计算证明规范非线性联络满足所需的变换律，推广了 $m=1$ 时的经典哈密顿几何。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为多时间哈密顿系统在对偶 1-喷射丛上定义规范非线性联络？
• RQ2 哪些变换律可确保非线性联络分量为 d-张量？
• RQ3 规范非线性联络在单时间情形（$m=1$）下如何退化为经典哈密顿几何？
• RQ4 哈密顿函数的克罗内克 $h$-正则性在保证非线性联络的存在性与正则性方面起什么作用？
• RQ5 如何将 d-联络形式化推广至包含 d-挠率与 d-曲率的多时间协变哈密顿几何？

主要发现

• 规范非线性联络 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$ 明确地由克罗内克 $h$-正则多时间哈密顿函数 $H$ 构造而成。
• 时间分量 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ 按 d-张量正确变换，通过 $\varkappa_{bc}^a$ 的变换规则验证。
• 空间分量 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ 表示为 $-\Gamma_{ij}^k p_k^a + T_{(i)j}^{(a)}$，其中 $T_{(i)j}^{(a)}$ 是由哈密顿函数与度量导出的 d-张量。
• 当 $m=1$ 时，空间分量退化为经典哈密顿几何中的规范非线性联络，确认与已知结果的一致性。
• 表达式 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)} = -\Gamma_{ij}^k p_k^a + \frac{h^{ab}}{4}(U_{ib\bullet j} + U_{jb\bullet i})$ 提供了空间分量的闭式、张量性表达，其中 $U_{ib} = g_{ik}U_{(b)}^{(k)}$ 与协变导数相关。
• 证明规范非线性联络在 $m \geq 2$ 时是良定义且几何一致的，克服了在一般情形下定义 d-联络的障碍。