[论文解读] Canonical reduction of stabilizers for Artin stacks with good moduli spaces

Dan Edidin, David Rydh|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 9

一句话总结

本文通过构建一系列规范的双有理态射，将基灵的局部去奇异化定理推广至具有良好模空间的阿廷堆栈，逐步降低稳定子群维数。关键结果是在良好模空间上实现了一个函子性、投影性且双有理的去奇异化过程，当原始堆栈光滑时，可得到一个驯服商奇点的去奇异化结果。

ABSTRACT

We present a complete generalization of Kirwan's partial desingularization theorem on quotients of smooth varieties. Precisely, we prove that if $\mathcal{X}$ is an irreducible Artin stack with stable good moduli space $\mathcal{X} o X$, then there is a canonical sequence of birational morphisms of Artin stacks $\mathcal{X}_n o \mathcal{X}_{n-1} o \ldots o \mathcal{X}_0 = \mathcal{X}$ with the following properties: (1) the maximum dimension of a stabilizer of a point of $\mathcal{X}_{k+1}$ is strictly smaller than the maximum dimension of a stabilizer of $\mathcal{X}_k$ and the final stack $\mathcal{X}_n$ has constant stabilizer dimension; (2) the morphisms $\mathcal{X}_{k+1} o \mathcal{X}_k$ induce projective and birational morphisms of good moduli spaces $X_{k+1} o X_{k}$. If in addition the stack $\mathcal{X}$ is smooth, then each of the intermediate stacks $\mathcal{X}_k$ is smooth and the final stack $\mathcal{X}_n$ is a gerbe over a tame stack. In this case the algebraic space $X_n$ has tame quotient singularities and is a partial desingularization of the good moduli space $X$. When $\mathcal{X}$ is smooth our result can be combined with D. Bergh's recent destackification theorem for tame stacks to obtain a full desingularization of the algebraic space $X$.

研究动机与目标

• 将基灵对GIT商空间的局部去奇异化定理推广至具有一般良好模空间的阿廷堆栈。
• 通过堆栈的双有理修改，以一种规范且函子性的方式，对良好模空间的奇点进行去奇异化。
• 在保持良好模空间结构的前提下，系统性地降低阿廷堆栈中的稳定子群维数。
• 建立一个与贝格的去堆栈化定理兼容的框架，以在任意特征下实现完全去奇异化。
• 将部分去奇异化的概念推广至经典GIT所限定的光滑、特征零情形之外。

提出的方法

• 通过迭代地在最大稳定子群维数的闭合子堆栈上进行爆破，构造阿廷堆栈的一系列规范双有理态射。
• 使用饱和爆破与赖希施泰因变换，以堆栈理论和模空间兼容的方式执行爆破。
• 将子堆栈 $\mathcal{X}^{\mathrm{max}}$ 定义为参数化具有最大维稳定子群的点的闭合子堆栈。
• 证明每个爆破在对应的良好模空间上诱导出一个投影且双有理的态射。
• 利用良好模空间的局部结构定理，将问题约化为局部群作用的情形。
• 运用主丛理论与刚化技术，分析稳定子群维数的约化及驯服商奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 基灵的部分去奇异化定理能否被推广至具有一般良好模空间的阿廷堆栈，而不仅限于具有线性作用的光滑射影概形？
• RQ2 是否存在一种规范且函子性的方式，可在保持模空间双有理性与投影性的同时，降低阿廷堆栈中的稳定子群维数？
• RQ3 在正特征情形下，稳定子群维数约化过程的行为如何，特别是考虑到稳定子群的线性半单性约束？
• RQ4 该过程能否与去堆栈化定理结合，以实现对良好模空间的完全去奇异化？
• RQ5 饱和爆破与唐纳森-托马斯理论中使用的内在爆破之间存在何种精确关系？

主要发现

• 对于任意不可约阿廷堆栈 $\mathcal{X}$ 及其稳定良好模空间 $\mathbf{X}$，存在一个规范的双有理态射序列 $\mathcal{X}_n \to \cdots \to \mathcal{X}_0 = \mathcal{X}$，使得每一步中最大稳定子群维数严格减小。
• 在良好模空间上诱导的态射 $\mathbf{X}_{k+1} \to \mathbf{X}_k$ 是投影且双有理的。
• 若 $\mathcal{X}$ 光滑，则所有中间堆栈 $\mathcal{X}_k$ 均光滑，且最终堆栈 $\mathcal{X}_n$ 是一个具有 $\mathbf{X}_n$ 上驯服商奇点的主丛。
• 当 $\mathcal{X}$ 光滑时，最终模空间 $\mathbf{X}_n$ 是 $\mathbf{X}$ 的部分去奇异化，通过一个规范且函子性的过程解决奇点。
• 在光滑情形下，将此结果与贝格的去堆栈化定理结合，可在任意特征下实现 $\mathbf{X}$ 的完全奇点去奇异化。
• 该构造通过直接在堆栈理论设定下工作，避免了基灵方法中复杂的爆破分析，并由于稳定子群的线性半单性条件，适用于正特征情形。