[论文解读] Canonical self-similar tilings by IFS

Erin P. J. Pearse|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2006

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种由 R^d 中的压缩相似映射迭代函数系统（IFS）生成的吸引子 F 的凸包的规范镶嵌 T。通过利用 IFS 的自相似结构，该镶嵌将凸包分解为几何上更简单的瓦片，这些瓦片编码了系统的所有缩放数据，为超越一维情形的高维复维数理论奠定了基础。

ABSTRACT

Abstract. An iterated function system consisting of contractive similarity mappings has a unique attractor F ⊆ R d which is invariant under the action of the system, as was shown by Hutchinson [Hut]. This paper shows how the action of the function system naturally produces a tiling T of the convex hull of the attractor. These tiles form a collection of sets whose geometry is typically much simpler than that of F, yet retains key information about both F and Φ. In particular, the tiles encode all the scaling data of Φ. We give the construction, along with some examples and applications. The tiling T is the foundation for the higher-dimensional extension of the theory of complex dimensions which was developed in [La-vF1] for the case d = 1. 1.

研究动机与目标

• 建立 R^d 中由压缩相似映射 IFS 生成的吸引子 F 的凸包的规范镶嵌 T。
• 证明镶嵌 T 的几何结构比分形吸引子 F 更为简单，同时保留了关键的缩放信息。
• 表明镶嵌 T 编码了 IFS 的全部缩放数据，使其可用于将复维数理论推广至高维。
• 提供一种可构造的框架以生成此类镶嵌，并通过实例说明其性质。

提出的方法

• 使用 Hutchinson 定理，将吸引子 F ⊆ R^d 构造为 IFS 作用下的唯一不变集。
• 定义 F 的凸包，并利用 IFS 映射所诱导的自相似结构，将其分解为镶嵌 T。
• 利用压缩相似映射生成反映 IFS 层次缩放特性的瓦片分区。
• 通过与 IFS 的函数图一致以及满足自相似关系，确保镶嵌 T 的规范性。
• 证明瓦片在几何上比 F 更为简单，但完整保留了 IFS 的缩放比和组合结构信息。
• 将镶嵌框架应用于将复维数理论从 d=1 推广至更高维度，如 [La-vF1] 所初步建立的。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 R^d 中的压缩相似映射 IFS 生成其吸引子凸包的规范镶嵌？
• RQ2 镶嵌 T 的结构中编码了关于 IFS 的哪些几何与动力学信息？
• RQ3 镶嵌 T 以何种方式简化了对分形吸引子 F 的分析，同时保持其缩放特性？
• RQ4 镶嵌 T 如何作为将复维数理论推广至高维的基石？
• RQ5 在何种条件下，镶嵌 T 既具有规范性又在 IFS 作用下保持不变？

主要发现

• 镶嵌 T 由 IFS 规范构造而成，将吸引子 F 的凸包划分为几何上更简单的集合。
• 镶嵌 T 中的瓦片保留了原始 IFS 的全部缩放数据，包括相似映射的缩放比和组合关系。
• 镶嵌 T 为将复维数理论从一维情形自然推广至更高维提供了几何框架。
• 该构造在 IFS 作用下保持不变，并尊重系统的自相似结构。
• 该镶嵌实现了对 [La-vF1] 中针对 d=1 情形所发展的复维数理论的高维推广。
• 该方法表明，吸引子 F 的几何结构可通过其更简单的基于瓦片的分解进行分析。