[论文解读] Canonical transfer-function realization for Schur multipliers on the Drury-Arveson space and models for commuting row contractions

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文为Drury-Arveson空间上的Schur类乘子构建了de Branges-Rovnyak空间在d变量情形的类比，提出了单位球上压缩乘子的典范传递函数实现。关键贡献在于利用特征函数和Agler分解，为交换行收缩算子建立了模型理论，证明了对完全非酉（c.n.u.）交换行收缩算子，对$(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$构成一个完全的酉不变量。

ABSTRACT

We develop a $d$-variable analog of the two-component de Bran-ges-Rovnyak reproducing kernel Hilbert space associated with a Schur-class function on the unit disk. In this generalization, the unit disk is replaced by the unit ball in $d$-dimensional complex Euclidean space, and the Schur class becomes the class of contractive multipliers on the Drury-Arveson space over the ball. We also develop some results on a model theory for commutative row contractions which are not necessarily completely noncoisometric (the case considered in earlier work of Bhattacharyya, Eschmeier and Sarkar)

研究动机与目标

• 将经典的de Branges-Rovnyak理论从单位圆盘推广到C^d中的单位球，使用Drury-Arveson空间上的Schur类乘子。
• 在多变量情形下，为Drury-Arveson空间上的压缩乘子发展一个典范酉实现。
• 在完全非共等距（c.n.c.）情形之外，为交换行收缩算子构建一个模型理论。
• 证明对一般完全非酉（c.n.u.）交换行收缩算子，对$(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$构成一个完全的酉不变量。

提出的方法

• 通过Drury-Arveson空间和压缩乘子，将两分量de Branges-Rovnyak核推广到d变量情形。
• 通过形式幂级数和非交换核，为算子元组定义非交换Agler分解。
• 利用非交换函数模型和文献[15]中的特征对$(S, L)$，为c.n.u.行收缩算子构造特征函数$\theta_{T,nc}$。
• 利用形式幂级数展开$(I - T Z_{\mathcal{X}}({\mathbf{z}})^*)^{-1} = \sum_{\alpha \in \mathcal{F}_d} {\mathbf{T}}^\alpha {\mathbf{z}}^\alpha$提取矩，以确定不变量。
• 通过特征函数和Agler分解建立模型之间的酉等价性，证明不变量对的完备性。
• 利用文献[15]的结果，证明对c.n.u.行收缩算子，对$(\theta_{T,nc}, \mathbb{K}_{T,nc})$构成一个完全的酉不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多变量情形下，为Drury-Arveson空间上的Schur类乘子构造典范传递函数实现？
• RQ2 de Branges-Rovnyak模型理论如何从单位圆盘推广到C^d中的单位球？
• RQ3 Agler分解在交换行收缩算子模型理论中，超越c.n.c.情形时起什么作用？
• RQ4 特征函数$\theta_{T,nc}$与Agler核$\mathbb{K}_{T,nc}$是否构成一般c.n.u.交换行收缩算子的完全酉不变量？
• RQ5 能否直接从Schur类函数及其Agler分解对$(S, \mathbb{K}_S)$构造一个典范模型？

主要发现

• 本文利用非交换Sz.-Nagy-Foias函数模型，为Drury-Arveson空间上的压缩乘子构造了典范酉实现。
• 两分量Agler分解与特征函数$\theta_{T,nc}$共同构成c.n.u.交换行收缩算子的完全酉不变量。
• 在交换c.n.c.情形下，特征函数$\theta_T$本身已是完全不变量；在更广的类中，Agler分解提供了额外信息。
• 矩$ D_T \mathcal{I}_i \mathbf{T}^\alpha \mathbf{T}^{*\beta} \mathcal{I}_j^* D_T $由核$ \widetilde{\Phi}_{ij} $唯一确定，从而可重构算子元组。
• 证明了特征函数$\theta_{T,nc} $与Agler核$\mathbb{K}_{T,nc} $构成一般c.n.u.交换行收缩算子的完全酉不变量。
• 原则上可直接从对$(S, \mathbb{K}_S)$构造非交换de Branges-Rovnyak模型空间，尽管完整细节留待未来工作。