[论文解读] Canonical volume forms on compact Kähler manifolds

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Jul 1, 2007

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文在具有伪有效 canonical 线丛的紧致 Kähler 流形的 canonical 线丛上，构造了一个具有半正曲率电流的典范奇异 Hermitian 度量。通过使用固定 Kähler 形式和体积归一化约束的逼近度量的极限过程，作者建立了唯一且内在的度量，该度量为 AZD（几乎处处奇异、具有半正曲率且乘子理想层系极大），独立于辅助选择，并保持 pluricanonical 截面。

ABSTRACT

We construct a canonical singular hermitian metric with semipositive curvature current on the canonical line bundle of a compact Kähler manifold with pseudoeffective canonical bundle.

研究动机与目标

• 将典范奇异 Hermitian 度量的构造从射影族推广到紧致 Kähler 流形。
• 通过使用 plurisubharmonic 对象的变化而非全纯对象，解决 Kähler 设置下缺乏分支覆盖的问题。
• 证明在 canonical 线丛上存在唯一且内在的奇异 Hermitian 度量，其曲率电流为半正。
• 通过其乘子理想层系确保该度量保持所有 pluricanonical 截面。
• 证明该构造独立于辅助 Kähler 形式的选择。

提出的方法

• 将一族奇异 Hermitian 度量 $ h_\varepsilon $ 定义为满足 $ \Theta_h + \varepsilon \omega_0 \geq 0 $ 且总质量为 1 的度量的逐点下确界。
• 构造相应的体积形式 $ dV_\varepsilon = h_\varepsilon^{-1} $，其有界且半正。
• 取 $ \varepsilon \to 0 $ 时 $ dV_\varepsilon $ 的上极限的上包络，以定义 $ d\tilde{V}_{\text{can}} $，并令 $ \tilde{h}_{\text{can}} = (d\tilde{V}_{\text{can}})^{-1} $。
• 利用 plurisubharmonic 函数的次均值性质，证明 $ dV_\varepsilon $ 的一致上界，且与 $ \varepsilon $ 无关。
• 通过与任意半正曲率奇异度量的比较，建立 $ d\tilde{V}_{\text{can}} $ 的下界，证明其为 AZD。
• 通过在双-Lipschitz 等价形式下的逼近族比较，证明该度量对 Kähler 形式 $ \omega_0 $ 的选择具有独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有伪有效 canonical 线丛的紧致 Kähler 流形的 canonical 线丛上构造一个具有半正曲率的典范奇异 Hermitian 度量？
• RQ2 该度量是否保持所有 pluricanonical 截面，即是否对所有 $ m \geq 0 $ 满足 $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\tilde{h}_{\text{can}}^m)) \simeq H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) $？
• RQ3 所得到的度量是否独立于构造中使用的辅助 Kähler 形式 $ \omega_0 $？
• RQ4 该构造能否被调整以避免对 $ \omega_0 $ 的依赖，且是否产生相同的典范度量？
• RQ5 该典范度量与射影情形下的超典范 AZD 有何关系？

主要发现

• 典范度量 $ \tilde{h}_{\text{can}} $ 由紧致 Kähler 流形 $ X $ 唯一确定，且独立于辅助 Kähler 形式 $ \omega_0 $ 的选择。
• 曲率电流 $ \Theta_{\tilde{h}_{\text{can}}} $ 在 $ X $ 上作为电流为半正，确保了广义意义下的正性。
• 对每个 $ m \geq 0 $，全局截面空间 $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X) \otimes \mathcal{I}(\tilde{h}_{\text{can}}^m)) $ 同构于 $ H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) $，确认其为 AZD。
• 体积形式 $ d\tilde{V}_{\text{can}} = \tilde{h}_{\text{can}}^{-1} $ 被任何光滑体积形式上界控制，且在 $ \varepsilon $ 上一致，确保可积性与正则性。
• 该构造在 $ X $ 的自同构群下不变，因为 $ d\tilde{V}_{\text{can}} $ 被双全纯映射保持。
• 在射影情形下，$ \tilde{h}_{\text{can}} $ 被超典范 AZD $ \hat{h}_{\text{can}} $ 上界控制，且 $ \hat{h}_{\text{can}} $ 被 $ \tilde{h}_{\text{can}} $ 的常数倍上界控制。