[论文解读] Canonicity and normalisation for Dependent Type Theory

Kaposi, Ambrus, Huber, Simon+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种构造性、代数化的证明，针对带有累积类型层和η-转换的依赖类型理论，证明了典范性与归约性。该证明基于构造集理论（CZFu<ω）中的证明相关可约性模型，将可约性视为一种结构而非性质，从而避免了归约关系与连通性论证，仅以最小的元理论强度，直接关联初始模型，同时实现了典范性与归约性。

ABSTRACT

The relationship between categorical gluing and proofs using the logical relation technique is folklore. In this paper we work out this relationship for Martin-Löf type theory and show that parametricity and canonicity arise as special cases of gluing. The input of gluing is two models of type theory and a pseudomorphism between them and the output is a displayed model over the first model. A pseudomorphism preserves the categorical structure strictly, the empty context and context extension up to isomorphism, and there are no conditions on preservation of type formers. We look at three examples of pseudomorphisms: the identity on the syntax, the interpretation into the set model and the global section functor. Gluing along these result in syntactic parametricity, semantic parametricity and canonicity, respectively.

研究动机与目标

• 为带有累积类型层和η-转换的依赖类型理论建立典范性与归约性。
• 克服在定义类型层可约性时，因项存在多种类型表示而引发的歧义性技术难题。
• 消除对归约关系与连通性证明的依赖，而这些正是先前方法的核心。
• 提供一种纯粹代数化、基于初始模型的构造方法，同时实现典范性与归约性。
• 证明所依赖的元理论强度尽可能弱，与对象理论强度一致。

提出的方法

• 引入一种证明相关的可约性模型，其中可约性被视作一种结构（而非仅性质），从而允许无歧义的归纳-递归定义。
• 通过语法的结构归纳，为每个类型和项定义可约性解释，为每个闭项分配一个可约性结构。
• 通过在上下文上扩展可约性族，从任给模型M构造新模型M*，采用类似预层的构造方式，基于中性项与正规项。
• 使用一种‘粘合’模型结构，包含α（反射）与β（重取）两个分量，通过中性形式与正规形式之间的双射捕捉归约性。
• 将该构造应用于初始模型，推导出典范性与相等性的可判定性。
• 采用构造集理论（CZFu<ω）作为元理论，最小化证明论强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖归约关系与连通性证明的前提下，为带有累积类型层和η-转换的依赖类型理论证明典范性？
• RQ2 如何定义类型层的可约性，以避免当一项代表多种类型时产生的歧义？
• RQ3 能否使用纯粹代数化、基于初始模型的方法，无需显式语法归约，来建立归约性？
• RQ4 是否可能通过一种证明相关的可约性模型，在最小元理论假设下，同时实现典范性与归约性？
• RQ5 该方法能否推广至归纳类型与具有满射配对的依赖积类型？

主要发现

• 本文证明了类型N2的典范性：所有类型为N2的闭项在命题上等于0或1。
• 通过一种构造方法证明了归约性，该方法利用证明相关的可约性模型，将每个项映射到其正规形式，且在初始模型中相等性可判定。
• 初始模型中的相等关系是可判定的，因为当且仅当a = b时，有αaa = αbb在Norm(A)中成立。
• 该方法避免了归约关系与连通性证明，简化了[1, 7, 15, 16]中先前的论证。
• 该构造产生一个模型M*，具有投影M* → M与从初始模型出发的截面，通过初始性确保典范性与归约性。
• 该方法可推广至依赖积类型与归纳类型（如W-类型），显示出广泛适用性。