[论文解读] Canopy of binary trees, Catalan tableaux and the asymmetric exclusion process

Xavier Gérard Viennot|ArXiv.org|May 19, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 5被引用 16

一句话总结

本文通過引入二叉樹的「樹冠」這一新型組合概念，建立了二叉樹與卡塔蘭表之間的雙射關係——卡塔蘭表是滿足鉤條件的費雷爾圖形，其元素為0和1，且由卡塔蘭數計數。此外，該結構與完全非對稱排斥過程（TASEP）相連接，揭示了TASEP模型中樹冠作為排列上下序列之非經典類比所帶來的新組合洞見。

ABSTRACT

The purpose of this paper is twofold. First we answer to a question asked by Steingrimsson and Williams about certain permutation tableaux: we construct a bijection between binary trees and the so-called Catalan tableaux. These tableaux are certain Ferrers (or Young) diagrams filled with some 0's and 1's, satisfying a certain hook condition, and are enumerated by the Catalan numbers. They form a subclass of the permutation tableaux, enumerated by n!, introduced by Postnikov in his study of totally non negative Grassmannians and networks. Secondly we relate this new Catalan bijection with the totally asymmetric exclusion process (TASEP), a very rich and well studied 1D gas model in statistical mechanics of nonequilibrium systems. We continue some combinatorial understanding of that model, in the spirit of works by Shapiro, Zeilberger and more recently by Brak, Essam, Rechnitzer, Corteel, Williams, Duchi and Schaeffer. Emphasis is made on the non-classical notion of canopy of a binary tree, analog of the classical up-down sequence of a permutation.

研究动机与目标

• 解決Steingrimsson與Williams提出的關於排列表組合結構的問題，通過構造二叉樹與卡塔蘭表之間的直接雙射。
• 引入並形式化「二叉樹樹冠」的概念，作為排列上下序列的非經典類比，從而實現新的組合分析。
• 將卡塔蘭表的組合結構與完全非對稱排斥過程（TASEP）相連接，TASEP是非平衡統計力學中的基本模型。
• 通過利用卡塔蘭表及其基於樹的表示形式的結構特性，拓展對TASEP的先前組合理解。

提出的方法

• 使用樹冠作為結構不變量，構造從二叉樹到卡塔蘭表的雙射映射，其中樹冠編碼了樹中左右分支的序列。
• 定義樹冠為從根節點沿樹的最右路徑 traversing 到葉節點時所遇到的方向序列（左或右），形成由{L, R}構成的字串，用以表徵樹的形狀。
• 通過應用尊重費雷爾圖形中0和1的鉤條件的遞歸插入規則，利用樹冠生成對應的卡塔蘭表。
• 建立二叉樹樹冠與TASEP模型中粒子配置之間的對應關係，其中L/R轉換對應於粒子的運動模式。
• 利用TASEP與排列表的已知結果來驗證雙射關係，並證明其與更廣泛類別中n!計數的一致性。
• 運用形式冪級數與代數組合數學的框架，分析與樹冠及表結構相關的生成函數。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在二叉樹與卡塔蘭表之間的自然組合雙射？若存在，其背後的結構不變量是什麼？
• RQ2 定義為沿最右路徑的左右分支方向序列的二叉樹樹冠，如何與卡塔蘭表的結構相關？
• RQ3 樹冠概念能否作為TASEP與表計數背景下排列上下序列的非經典類比？
• RQ4 卡塔蘭表的組合結構與完全非對稱排斥過程（TASEP）的動力學之間有何聯繫？
• RQ5 樹冠與表映射的結構特性如何反映或改進TASEP模型中的已知結果？

主要发现

• 成功建立二叉樹與卡塔蘭表之間的直接、構造性雙射，其中樹的樹冠作為決定表形狀的關鍵結構不變量。
• 二叉樹的樹冠定義為沿最右路徑的左右分支方向序列，該序列唯一確定了對應的卡塔蘭表。
• 雙射保持了如節點數量與子樹結構等組合統計量，將樹的拓撲與表的填充規則聯繫起來。
• 樹冠概念提供了排列上下序列的非經典類比，進而實現了TASEP背景下的新組合解釋。
• 通過樹冠的L/R轉換與排斥過程中粒子運動模式的對應關係，建立了與TASEP的聯繫，豐富了組合模型。
• 本研究透過引入基於樹冠與卡塔蘭表的新組合框架，拓展了Shapiro、Zeilberger、Brak、Essam、Rechnitzer、Corteel、Williams、Duchi與Schaeffer等人先前的工作。