[论文解读] Cantorian Fractal Patterns, Quantum-Like Chaos and Prime Numbers in Atmospheric Flows

A. M. Selvam, Suvarna Fadnavis|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 1998

Chaos-based Image/Signal Encryption参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出大气流动表现出类量子混沌，其特征为分形结构与长程时空相关性，湍流涡旋能量谱的分布数学上等价于素数分布，通过 z/lnz 表达。该模型将分形涡旋层级、基于斐波那契数列的分叉分支结构与数论联系起来，表明涡旋的归一化累积方差遵循正态分布，并与素数计数函数相匹配。

ABSTRACT

Atmospheric flows exhibit cantorian fractal space-time fluctuations signifying long-range spatiotemporal correlations. A recently developed cell dynamical system model shows that such non-local connections are intrinsic to quantum-like chaos governing flow dynamics. The dynamical evolution of fractal structures can be quantified in terms of ordered energy flow described by mathematical functions which occur in the field of number theory. The quantum-like chaos in atmospheric flows can be quantified in terms of the following mathematical functions / concepts: (1) The fractal structure of the flow pattern is resolved into an overall logarithmic spiral trajectory with the quasiperiodic Penrose tiling pattern for the internal structure and is equivalent to a hierarchy of vortices. The incorporation of Fibonacci mathematical series, representative of ramified bifurcations, indicates ordered growth of fractal patterns. (2) The steady state emergence of progressively larger fractal structures incorporates unique primary perturbation domains of progressively increasing number equal to z/lnz where z, the length step growth stage is equal to the length scale ratio of large eddy to turbulent eddy. In number theory z/lnz gives the number of primes less than z. The model also predicts that z/lnz represents the normalised cumulative variance spectrum of the eddies and which follows statistical normal distribution. The important result of the study is that the prime number spectrum is the same as the eddy energy spectrum for quantum-like chaos in atmospheric flows.

研究动机与目标

• 使用数论概念研究大气流动中分形与混沌动力学的存在性。
• 探讨大气湍流中长程时空相关性与类量子行为之间的联系。
• 确定涡旋能量方差的统计分布是否与素数分布相匹配。
• 利用对数螺旋与彭罗斯密铺图案，对大气流动中分形结构的层级生长进行建模。
• 在素数谱与类量子混沌系统中涡旋的能量谱之间建立数学等价性。

提出的方法

• 使用捕捉非局部、长程相关性的元胞动力系统对大气流动进行建模。
• 将分形结构表示为具有准周期彭罗斯密铺的对数螺旋，以组织内部涡旋。
• 使用斐波那契数列描述分形涡旋生长过程中有序的、分叉分支的进程。
• 应用函数 z/lnz 来量化每个尺度比 z 处的主要扰动区域数量。
• 推导涡旋的归一化累积方差谱，并表明其服从统计正态分布。
• 在素数计数函数与湍流中涡旋能量谱之间建立数学同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 大气流动是否表现出具有长程时空相关性的卡特兰分形模式？
• RQ2 湍流大气流动中涡旋的能量分布是否在数学上等价于素数分布？
• RQ3 能否使用斐波那契数列与彭罗斯密铺来描述大气流动中涡旋的层级生长？
• RQ4 涡旋的归一化累积方差是否如模型预测的那样服从正态分布？
• RQ5 数论函数与大气系统中类量子混沌动力学之间是否存在根本性的数学同构关系？

主要发现

• 大气流动的分形结构被解析为具有准周期彭罗斯密铺的对数螺旋，表明存在涡旋的层级结构。
• 在每个尺度比 z 处的主要扰动区域数量由 z/lnz 给出，与素数计数函数一致。
• 涡旋的归一化累积方差谱服从统计正态分布。
• 类量子混沌大气流动中涡旋的能量谱在数学上与素数谱完全相同。
• 该模型在数论（素数）与流体动力学（涡旋）之间建立了直接对应关系，表明复杂系统中存在深刻的数学统一性。
• 斐波那契数列揭示了分形图案有序生长的内在机制，反映了流动中分叉分支过程的结构特征。