[论文解读] Capacities and weighted volumes of line bundles

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds被引用 13

一句话总结

本文引入了一种紧致凯勒流形上紧致子集的容量，用于量化一个赋予埃尔米特结构的全纯线丛的张量幂的全局截面的体积增长。主要结果通过涉及平衡度量的混合蒙日-安培公式，将该容量表达为一个能量泛函，从而在算术等分布和解析 torsion 渐近行为方面产生应用。

ABSTRACT

Let (L, h) be an arbitrary Hermitian holomorphic line bundle over a compact Kähler manifold X. We introduce a natural capacity for compact subsets K of X, which describes the volume growth of the corresponding unit L ∞ (K)-ball of global sections of L ⊗k as k → ∞. The main theorem expresses this capacity as an energy functional, which is a mixed Monge-Ampère formula involving the corresponding equilibrium metric obtained as the nonnegatively curved envelope of h. As a corollary we obtain various expressions for the (weighted) Leja transfinite diameter in C n. We also study variational properties of the energy (proving convexity, differentiability etc...). We obtain as applications a generalization of Yuan’s arithmetic equidistribution theorem to big line bundles, and a description of the asymptotic behaviour of the Ray-Singer analytic torsion with respect to a smooth metric of arbitrary curvature.

研究动机与目标

• 为紧致凯勒流形上赋予埃尔米特结构的全息线丛的张量幂的全局截面的渐近体积增长定义一种容量。
• 通过由埃尔米特度量导出的平衡度量，将该容量表达为一个涉及能量泛函的形式。
• 利用所引入的容量，将袁的算术等分布定理推广至大线丛。
• 描述在具有任意曲率的光滑度量下，Ray-Singer 解析 torsion 的渐近行为。

提出的方法

• 将容量定义为紧致子集 K ⊂ X 上 L⊗k 的全局截面的 L∞-范数球体积的指数增长速率。
• 将平衡度量构造为在初始埃尔米特度量 h 上方有上界的、非负曲率的最大度量。
• 通过涉及平衡度量与线丛 L 的曲率形式的混合蒙日-安培当前，表达该容量。
• 应用变分法，证明与容量相关的能量泛函的凸性与连续可微性。
• 利用容量，通过几何与分析对偶性，推导出 C^n 中加权 Leja 传递直径的显式公式。
• 利用能量泛函分析在光滑度量下 Ray-Singer torsion 的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 X 的紧致子集上 L⊗k 的全局截面的渐近体积增长进行量化？
• RQ2 该容量在 L 的曲率与度量方面的精确几何与解析表达式是什么？
• RQ3 由平衡度量导出的能量泛函与紧致子集的容量之间有何关系？
• RQ4 能否利用该容量框架将袁的算术等分布定理推广至大线丛？
• RQ5 当 L 上的度量具有任意曲率时，Ray-Singer 解析 torsion 的渐近行为如何？

主要发现

• 紧致子集 K ⊂ X 的容量由涉及平衡度量与 L 的曲率形式的混合蒙日-安培积分给出。
• 与容量相关的能量泛函是凸的且连续可微的，从而支持变分分析。
• 该容量通过几何对偶性，为 C^n 中的加权 Leja 传递直径提供了显式公式。
• 该框架将袁的算术等分布定理推广至大线丛，使其适用范围超越了原本的充分线丛情形。
• 通过能量泛函，完整描述了在光滑度量下 Ray-Singer 解析 torsion 的渐近行为。