[论文解读] Capacity-Achieving PIR Schemes with Optimal Sub-Packetization

Zhifang Zhang, Jingke Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Cryptography and Data Security参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种线性容量可达的私有信息检索（PIR）方案，在 $T$-私密访问下针对复制服务器实现了最优子分块化，将子分块化从 $N^M$ 降低至 $dn^{M-1}$，其中 $d = \gcd(N,T)$ 且 $n = N/d$。该方案达到了子分块化的理论下限，并与先前工作相比，将域大小减少了 $1/(Nd^{M-2})$ 倍。

ABSTRACT

Suppose a database containing $M$ records is replicated across $N$ servers, and a user wants to privately retrieve one record by accessing the servers such that identity of the retrieved record is secret against any up to $T$ servers. A scheme designed for this purpose is called a private information retrieval (PIR) scheme. In practice, capacity-achieving and small sub-packetization are both desired for PIR schemes, because the former implies the highest download rate and the latter usually means simple realization. For general values of $N,T,M$, the only known capacity-achieving PIR scheme was designed by Sun and Jafar in 2016 with sub-packetization $N^M$. In this paper, we design a linear capacity-achieving PIR scheme with much smaller sub-packetization $dn^{M-1}$, where $d={ m gcd}(N,T)$ and $n=N/d$. Furthermore, we prove that for any linear capacity-achieving PIR scheme it must have sub-packetization no less than $dn^{M-1}$, implying our scheme has the optimal sub-packetization. Moreover, comparing with Sun and Jafar's scheme, our scheme reduces the field size by a factor of $\frac{1}{Nd^{M-2}}$.

研究动机与目标

• 确定在 $T$-私密访问下线性容量可达PIR方案的最优子分块化。
• 通过最小化子分块化来降低实现复杂度，同时保持容量可达性能。
• 建立此类方案子分块化的理论下限。
• 设计一种同时实现容量与最优子分块化的实用PIR方案。
• 与先前的容量可达方案相比，减少所需的有限域大小。

提出的方法

• 利用线性PIR方案中熵与秩关系推导子分块化的下限。
• 基于MDS码和文件段的结构化线性组合构建PIR方案。
• 采用混合-扩展框架，使用不同维度的MDS码的生成矩阵 $G_k$。
• 通过列置换将生成矩阵 $\widetilde{G}$ 转换为最终的编码矩阵 $G$。
• 通过跨 $N$ 个服务器对子分块化文件段进行线性组合来实现查询与响应阶段。
• 通过方案线性组件上的结构条件 (s1) 和 (s2) 验证正确性与隐私性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $N$ 个复制服务器和 $M$ 个记录的线性容量可达 $T$-私密PIR方案，其理论最小子分块化需求是多少？
• RQ2 能否实现子分块化显著低于 $N^M$ 的PIR方案以达到容量？
• RQ3 最大公约数 $d = \gcd(N,T)$ 如何影响最优子分块化？
• RQ4 在线性PIR中，子分块化、域大小与方案复杂度之间存在何种关系？
• RQ5 能否构建一种方案，同时实现容量、最优子分块化与更小的域大小？

主要发现

• 线性容量可达 $T$-私密PIR方案的最优子分块化为 $dn^{M-1}$，其中 $d = \gcd(N,T)$ 且 $n = N/d$，且该界限是紧致的。
• 所提出的方案实现了此最优子分块化，与 Sun 和 Jafar 的 $N^M$ 方案相比，将其降低了 $1/(nd^{M-1})$ 倍。
• 与最先进的容量可达方案相比，该方案将所需有限域大小减少了 $1/(Nd^{M-2})$ 倍。
• 该方案的速率是 $\frac{1 - T/N}{1 - (T/N)^M}$，与已知的 $T$-私密PIR容量一致。
• 通过线性组合在方案中的熵与秩分析，证明了子分块化的下限。
• 通过线性组件上的结构条件 (s1) 和 (s2) 验证了构造的正确性与隐私性。