[论文解读] Capacity-Achieving Private Information Retrieval Codes from MDS-Coded Databases with Minimum Message Size

Ruida Zhou, Chao Tian+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文提出了一类针对MDS编码数据库的容量达到型线性私有信息检索（PIR）码，实现了最小的消息大小，在 $K > T/\gcd(N,T)$ 时达到消息大小 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$，与之前的工作相比显著降低了子分块化程度。作者提出了两种构造——构造-A与构造-B——基于一种反向工程方法，避免依赖于品种对称性，从而实现更小的消息大小和更高的上传效率，同时保持最优的下载代价。

ABSTRACT

We consider constructing capacity-achieving linear codes with minimum message size for private information retrieval (PIR) from $N$ non-colluding databases, where each message is coded using maximum distance separable (MDS) codes, such that it can be recovered from accessing the contents of any $T$ databases. It is shown that the minimum message size (sometimes also referred to as the sub-packetization factor) is significantly, in fact exponentially, lower than previously believed. More precisely, when $K>T/ extbf{gcd}(N,T)$ where $K$ is the total number of messages in the system and $ extbf{gcd}(\cdot,\cdot)$ means the greatest common divisor, we establish, by providing both novel code constructions and a matching converse, the minimum message size as $ extbf{lcm}(N-T,T)$, where $ extbf{lcm}(\cdot,\cdot)$ means the least common multiple. On the other hand, when $K$ is small, we show that it is in fact possible to design codes with a message size even smaller than $ extbf{lcm}(N-T,T)$.

研究动机与目标

• 为MDS编码数据库中的容量达到型PIR码减少消息大小（子分块化因子），这对实际部署和系统效率至关重要。
• 挑战一种普遍观点，即容量达到型PIR码中的消息大小必须随消息数量 $K$ 指数级增长。
• 构造显式线性码，实现最小消息大小，达到MDS编码数据库的信息论PIR容量。
• 建立匹配的反证证明，表明在某些 $K$ 的条件下，$\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 是最小消息大小。
• 探索当 $K$ 较小时，是否存在更小的消息大小，超越标准的 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 边界。

提出的方法

• 提出两种新颖的线性码构造——构造-A与构造-B——两者均实现最优下载代价和消息大小 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$，其中构造-B具有更低的上传代价。
• 采用受先前关于标准PIR工作启发的反向工程方法，但针对MDS编码数据库进行了调整，增加了整数约束和编码需求。
• 减少对“品种对称性”——一种此前被认为必不可少的结构对称性——的依赖，从而实现更灵活高效的码设计。
• 利用熵和信息论不等式推导反证证明，表明当 $K > T/\gcd(N,T)$ 时，$\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 是最小消息大小。
• 分析查询分布和条件熵，证明 $H(A_n^{[k]} \mid W^k, \mathsf{F}=f)$ 必须为整数值，这是由于线性性，从而可获得更紧的界。
• 引入查询支持集 $\mathcal{Q}_n^*$ 的概念，并使用最大-最小熵论证，推导出 $H^k$ 和 $I_n^k$ 的下界，从而得出关键不等式 $H_{n^*}^{\breve{k}} \geq (K-1)I_{n^*}^{\breve{k}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为MDS编码数据库构造出消息大小显著小于先前已知的 $TN^K$ 的容量达到型PIR码？
• RQ2 当 $K > T/\gcd(N,T)$ 时，$\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 是否为容量达到型PIR码的最小可能消息大小？
• RQ3 当 $K$ 较小时，是否可能进一步减小消息大小，甚至低于 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$？
• RQ4 最优PIR码必须具备哪些结构性质——如对称性或查询分布——才能最小化消息大小？
• RQ5 在放松对答案长度均匀性的要求（即允许变长答案）时，所需的消息大小能减少多少？

主要发现

• 当 $K > T/\gcd(N,T)$ 时，MDS编码数据库中容量达到型PIR码的最小消息大小为 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$，相比先前已知的 $TN^K$ 指数级减小。
• 构造-A与构造-B均实现了此最小消息大小，具有最优下载代价，且均为线性码，其中构造-B具有更低的上传代价。
• 反证证明表明，在 $K > T/\gcd(N,T)$ 条件下，任何容量达到型码都无法拥有小于 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 的消息大小。
• 当 $K$ 较小时，可设计出消息大小严格小于 $\operatorname{\text{lcm}}(N-T,T)$ 的码，表明最优消息大小具有依赖于参数的特性。
• 所提出的码减少了对品种对称性的依赖，而该对称性此前被认为对容量达到型设计是必需的，从而实现了更高效、更灵活的构造。
• 分析表明，当 $N-T$ 不整除 $L$ 时，有 $H_{n^*}^{\breve{k}} \geq (K-1)I_{n^*}^{\breve{k}}$ 且 $I_{n^*}^{\breve{k}} \geq 1$，从而导出 $H^k \geq s = T/\gcd(N,T)$ 的下界，这对反证证明至关重要。