[论文解读] Capping off open books and the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文在海格福尔同调中建立了从截断3-流形的$HF^+$到原始流形的$U$-等变映射，证明了奥兹瓦斯-萨博接触不变量$c^+$在开书边界分量被截断时保持不变。关键结果是通过 cobordism 诱导的映射将$c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$发送至$c^+(S_{g,r},\phi)$，从而为具有多个边界分量的亏格一开书提供了新的紧致性与辛填充性的障碍。

ABSTRACT

If (S,h) is an open book with disconnected binding then we can form a new open book (S',h') by capping off one of the boundary components of S with a disk. We define a U-equivariant map on Heegaard Floer homology which sends c^+(S',h') to c^+(S,h), and we discuss various applications. In particular, we determine the support genera of almost all contact structures compatible with genus one, one boundary component open books. In addition, we compute the 3-dimensional invariant associated to any contact structure with non-vanishing contact invariant which is compatible with a genus one open book with periodic monodromy.

研究动机与目标

• 理解在开书分解中截断一个边界分量对奥兹瓦斯-萨博接触不变量的几何影响。
• 在海格福尔同调中建立一个规范映射，将截断cobordism的$HF^+$与原始流形联系起来。
• 利用该映射推导出关于具有多个边界分量的亏格一开书的紧致性与辛填充性的新障碍。
• 确定与亏格一、单边界分量开书相容的接触结构的支撑亏格。
• 计算所有具有周期性单体的亏格一开书所支持的紧致接触结构的$d_3$不变量。

提出的方法

• 通过在对应于被截断边界分量的绑定分量上附着一个0- framing的2-柄，从$-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}$构造一个2-柄cobordism $W$至$-M_{S_{g,r},\phi}$。
• 在$W$上定义一个$\text{Spin}^c$结构$\mathfrak{s}_0$，并使用海格福尔同调中诱导的映射$F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$。
• 证明该映射将接触不变量$c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$发送至$c^+(S_{g,r},\phi)$，从而确立$U$-等变关系。
• 利用该映射推导出在亏格一开书中，$c^+$在截断下消失的后果。
• 将结果应用于计算所有具有周期性单体的亏格一开书所支持的紧致接触结构的$d_3(\xi)$。
• 利用该映射及关于伪阿诺索夫微分同胚的已知结果，推导出$c^+(\xi)$对所有$d \in \mathbb{N}$属于$U^d$的像的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在海格福尔同调中，截断一个边界分量是否保持奥兹瓦斯-萨博接触不变量的非零性？
• RQ2 由截断cobordism诱导的$HF^+$-映射能否提供关于紧致性或辛填充性的新障碍？
• RQ3 与亏格一、单边界分量开书相容的接触结构的支撑亏格是什么？
• RQ4 对于具有周期性单体的亏格一开书所支持的紧致接触结构，$d_3$不变量的行为如何？
• RQ5 在何种分数德恩扭转系数条件下，$c^+(\xi)$属于所有$d \in \mathbb{N}$的$U^d$的像？

主要发现

• 存在一个$U$-等变映射$F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$，将$c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$发送至$c^+(S_{g,r},\phi)$，从而在截断下确立了规范关系。
• 若$c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi) = 0$，则$c^+(S_{g,r},\phi) = 0$，为接触不变量的消失提供了障碍。
• 对于具有$r$个边界分量、单体为伪阿诺索夫且每个边界分量恰好有两个奇点的亏格一开书，若任一分数德恩扭转系数小于1，则$c^+(\xi)$属于所有$d \in \mathbb{N}$的$U^d$的像。
• 计算了所有具有周期性单体的亏格一开书所支持的紧致接触结构的$d_3$不变量。
• 本文对与亏格一、单边界分量开书相容的接触结构的支撑亏格进行了分类。
• 提出一个猜想：在特定叶状结构与单体条件下，若$c^+(\xi)$在$U^d$的像之外非零，则其与具有$b_2^+ > 0$的强辛填充性相关。