[论文解读] Capturing nonclassical shocks in nonlinear elastodynamic with a conservative finite volume scheme

Nina Aguillon|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用 6

一句话总结

本文提出了一种保守的有限体积格式，通过在Riemann求解器中嵌入动能关系，精确捕捉非经典（欠压缩）激波，适用于非线性弹塑性动力学系统。该格式在激波附近避免数值耗散，保持非经典波结构，并可在无需激波追踪网格的情况下实现高精度的长时间模拟，已在Riemann问题和具有高分辨率渐近行为的光滑初值条件下得到验证。

ABSTRACT

For a model of nonlinear elastodynamics, we construct a finite volume scheme which is able to capture nonclassical shocks (also called undercompressive shocks). Those shocks verify an entropy inequality but are not admissible in the sense of Liu. They verify a kinetic relation which describes the jump, and keeps an information on the equilibrium between a vanishing dispersion and a vanishing diffusion. The scheme pre-sented here is by construction exact when the initial data is an isolated nonclassical shock. In general, it does not introduce any diffusion near shocks, and hence nonclas-sical solutions are correctly approximated. The method is fully conservative and does not use any shock-tracking mesh. This approach is tested and validated on several test cases. In particular, as the nonclassical shocks are not diffused at all, it is possible to obtain large time asymptotics.

研究动机与目标

• 开发一种保守的有限体积格式，以在经典熵准则失效的非线性弹塑性动力学系统中精确捕捉非经典激波。
• 消除非经典激波附近的数值耗散，保持波结构的清晰度和正确的传播速度。
• 确保在不依赖网格自适应或激波追踪算法的前提下，精确解析孤立的非经典激波。
• 在复杂测试案例中验证该格式，包括长时间渐近行为和光滑初值，展示其鲁棒性与精度。
• 提供一个数值稳定的框架，确保在粘性与弥散趋于零的极限下，满足动能关系的物理一致性。

提出的方法

• 该格式采用基于动能关系的Riemann求解器，该关系将非经典激波表征为耗散-弥散正则化极限下的解。
• 通过分析函数 $ w $ 的符号变化，设计重构过程以检测非经典激波，该符号变化表明非经典跳跃的存在。
• 该方法采用保守的有限体积离散化，保持总质量和动量守恒，确保全局守恒性。
• 该格式在激波附近避免引入人工粘性，从而保持非经典波前的清晰分辨率。
• 在光滑区域，该格式退化为类似Lax–Friedrichs的格式，但在未重构界面处可增强为高阶格式（如Nessyahu–Tadmor格式）。
• 该算法实现无需重映射或移动网格，依赖于单元级的非经典状态检测与重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在非线性弹塑性动力学中，通过保守的有限体积格式在不引入数值耗散的情况下捕捉非经典激波？
• RQ2 在长时间模拟中，当非经典激波持续存在并发生相互作用时，该格式表现如何？
• RQ3 该格式能否精确重构孤立的非经典激波？在重构具有符号变化 $ w $ 的经典激波时存在哪些局限性？
• RQ4 与Glimm等随机方法相比，该格式在激波位置和结构分辨率方面表现如何？
• RQ5 能否有效将动能关系嵌入保守的有限体积框架中，以确保在粘性与弥散趋于零极限下的物理解释一致性？

主要发现

• 该格式精确捕捉孤立的非经典激波，保持其结构与传播速度，无任何数值耗散。
• 即使在长时间模拟后，非经典激波仍保持清晰且位置正确，如在 $ t = 40 $ 时使用每单位区间 8,000 个单元的模拟结果所示。
• 该格式能够解析从光滑初值中出现的非经典波，包括在仅 31 次（共 100 次）Glimm 格式实现中观察到的紧密排列激波，表明其具有狭窄但物理解释一致的结构。
• 在最大耗散情形（$ \beta = 1 $）下，$ w $ 函数出现三次符号变化，证实了非经典行为且不收敛于零，与理论预期一致。
• 当应用重构时，该格式在光滑区域优于标准Lax–Friedrichs格式，且在未重构经典激波时避免了其虚假耗散。
• 由于无数值耗散，该方法可实现精确的大时间渐近行为，这是相对于传统格式的关键优势。