[论文解读] Capturing polynomial time using modular decomposition

Berit Grußien|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了模块分解定理，该工具将排除诱导子图的图类的规范化的任务，简化为对带有线性有序二元关系着色的其素图的规范化。通过应用该定理，作者证明了固定点逻辑带计数在排列图上捕捉了多项式时间，并表明模块分解树可在对数空间内计算，从而实现了对数空间的无三角图识别与规范化。

ABSTRACT

The question of whether there is a logic that captures polynomial time is one of the main open problems in descriptive complexity theory and database theory. In 2010 Grohe showed that fixed point logic with counting captures polynomial time on all classes of graphs with excluded minors. We now consider classes of graphs with excluded induced subgraphs. For such graph classes, an effective graph decomposition, called modular decomposition, was introduced by Gallai in 1976. The graphs that are non-decomposable with respect to modular decomposition are called prime. We present a tool, the Modular Decomposition Theorem, that reduces (definable) canonization of a graph class C to (definable) canonization of the class of prime graphs of C that are colored with binary relations on a linearly ordered set. By an application of the Modular Decomposition Theorem, we show that fixed point logic with counting also captures polynomial time on the class of permutation graphs. As a side effect of the Modular Decomposition Theorem, we further obtain that the modular decomposition tree is computable in logarithmic space. It follows that cograph recognition and cograph canonization is computable in logarithmic space.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：是否存在一种逻辑，能够捕捉排除诱导子图的图类上的多项式时间？
• 通过模块分解，将格罗赫关于排除子式的结果扩展到排除诱导子图的情形。
• 通过素图与着色关系，开发此类图类的可定义规范化方法。
• 确立模块分解树可在对数空间内计算。
• 证明无三角图的识别与规范化也属于对数空间。

提出的方法

• 提出模块分解定理，将图类 C 的规范化问题简化为对其素图的规范化问题，其中素图被赋予线性有序集合上的二元关系着色。
• 该定理利用加莱的模块分解方法，递归地将图分解为模块，以素图为基本情形。
• 作者通过分析素图在二元着色约束下的结构，将该定理应用于排列图。
• 他们使用固定点逻辑带计数（FPC）在素图上定义规范化过程，确保其在 FPC 中可表达。
• 模块分解树的对数空间可计算性，源于可定义的规范化过程及其分解结构。
• 无三角图的结果作为推论成立，因为无三角图恰好是不含四顶点诱导路径的图，且在模块分解下封闭。

实验结果

研究问题

• RQ1 固定点逻辑带计数是否能捕捉由排除诱导子图定义的图类（如排列图）上的多项式时间？
• RQ2 图的模块分解树是否可在对数空间内计算？
• RQ3 当素图被赋予线性有序集合上的二元关系着色时，能否将图类的规范化问题简化为对其素图的规范化？
• RQ4 模块分解定理是否能为排除子式以外的图类提供可定义的规范化方法？
• RQ5 无三角图识别与规范化的逻辑与计算复杂度为何？

主要发现

• 固定点逻辑带计数在排列图类上捕捉了多项式时间，将格罗赫的结果从排除子式扩展至排除诱导子图。
• 任何图的模块分解树均可在对数空间内计算，该结果源于可定义的规范化过程。
• 无三角图的识别与规范化均可在对数空间内计算，这是定理与分解结构的直接推论。
• 模块分解定理为将规范化问题简化为着色关系的素图提供了一个通用框架。
• 在线性有序集合上对二元关系着色的素图的可定义规范化，足以实现整个图类的完整规范化。
• 本文在模块分解、可定义逻辑与空间有界计算之间建立了新联系，丰富了描述性复杂性理论。