[论文解读] Caractères tordus des représentations admissibles

Bertrand Lemaire|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文发展了在自同构作用与特征扭变下，非阿赋得非阿基米德局部域上连通不可约光滑适定表示的扭字符理论。证明了扭字符分布在θ-拟正则元素的开稠密子集上局部常值，并确立了其在抛物诱导与雅克布限制下的行为，从有理视角扩展了斯坦伯格关于自同构的理论。

ABSTRACT

Let $F$ be a non--Archimedean locally compact field (${ m car}(F)\geq 0$), ${\bf G}$ be a connected reductive group defined over $F$, $θ$ be an $F$--automorphism of ${\bf G}$, and $ω$ be a character of ${\bf G}(F)$. We fix a Haar measure $dg$ on ${\bf G}(F)$. For a smooth irreducible $(θ,ω)$--stable complex representation $π$ of ${\bf G}(F)$, that is such that $π\circ θ\simeq π\otimes ω$, the choice of an isomorphism $A$ from $π\otimes ω$ to $π\circ θ$ defines a distribution $Θ_π^A$, called the \og ($A$--)twisted character of $π$\fg: for a compactly supported locally constant function $f$ on ${\bf G}(F)$, we put $Θ_π^A(f)={ m trace}(π(fdg)\circ A)$. In this paper, we study these distributions $Θ_π^A$, without any restrictive hypothesis on $F$, ${\bf G}$ or $θ$. We prove in particular that the restriction of $Θ_π^A$ on the open dense subset of ${\bf G}(F)$ formed of those elements which are $θ$--quasi--regular is given by a locally constant function, and we describe how this function behaves with respect to parabolic induction and Jacquet restriction. This leads us to take up again the Steinberg theory of automorphisms of an algebraic group, from a rationnal point of view.

研究动机与目标

• 发展非阿基米德局部域上半单代数群的光滑不可约适定表示的扭字符理论的全面框架。
• 分析扭字符分布结构及其在抛物诱导与雅克布限制下的行为。
• 从有理点视角重新表述斯坦伯格关于代数群自同构的理论，尤其关注F-有理结构。
• 描述扭字符在θ-拟正则元素的开稠密子集上的局部常值性。
• 建立适用于无限制性假设的场、群或自同构的扭字符理论基础结果。

提出的方法

• 为一个光滑不可约(θ,ω)-稳定表示π与一个同构A: π⊗ω → π∘θ，定义扭字符分布Θπ^A(f) = trace(π(fdg) ∘ A)。
• 在G(F)上固定一个哈尔测度dg，以定义紧支集局部常值函数f在表示空间上的作用。
• 通过将分布限制到G(F)中θ-拟正则元素的开稠密子集，刻画Θπ^A的支集与正则性。
• 利用哈里什-钱德拉子商原理分析轨道积分与扭字符分布的行为。
• 应用韦尔积分公式将扭字符与轨道积分关联，推导其结构性质。
• 以F-有理结构为出发点，重新表述斯坦伯格关于自同构的理论，重点关注拟半单与拟中心自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 扭字符分布Θπ^A在G(F)中θ-拟正则元素的开稠密子集上如何表现？
• RQ2 在(θ,ω)-稳定表示的背景下，扭字符与抛物诱导之间存在何种关系？
• RQ3 雅克布限制函子如何与扭字符分布相互作用？
• RQ4 斯坦伯格关于代数群自同构的理论如何从有理（F-有理）视角重新诠释？
• RQ5 同构A在定义扭字符中起什么作用？它如何影响分布结构？

主要发现

• 扭字符分布Θπ^A在G(F)中θ-拟正则元素的开稠密子集上的限制由一个局部常值函数给出。
• 扭字符分布Θπ^A与抛物诱导相容，其在该运算下的行为通过诱导表示的结构得到明确描述。
• 扭字符在雅克布函子下的限制保持了关键的分布性质，且在相关θ-拟正则集合上仍为局部常值。
• 本文建立了斯坦伯格自同构理论的有理框架，尤其适用于非阿基米德局部域F上的拟半单与拟中心自同构。
• 韦尔积分公式被推广至扭设置，使得扭字符可表示为θ-稳定共轭类上的轨道积分。
• 该理论在无关于F的特征、半单群G或自同构θ的限制性假设下统一适用，具有广泛适用性。