[论文解读] Cardinalities of weakly Lindel\"of spaces with regular $G_\kappa$-diagonals

Ivan S. Gotchev|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文为具有正规 $G_\kappa$-对角线的 Urysohn 空间建立了新的基数界，扩展了经典不等式，通过将空间的大小与弱 Lindel"of 数、几乎 Lindel"of 数、特征和对角线度联系起来。主要贡献是证明了此类空间满足 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 和 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$，显著改进了具有正规 $G_\delta$-对角线的正规空间和 Urysohn 空间的先前基数界。

ABSTRACT

For a Urysohn space $X$ we define the regular diagonal degree $\overline{\Delta}(X)$ of $X$ to be the minimal infinite cardinal $\kappa$ such that $X$ has a regular $G_\kappa$-diagonal i.e. there is a family $(U_\eta:\eta<\kappa)$ of open neighborhoods of $\Delta_X=\{(x,x)\in X^2:x\in X\}$ in $X^2$ such that $\Delta_X = \bigcap_{\eta<\kappa} \overline{U}_\eta$. In this paper we show that if $X$ is a Urysohn space then: (1) $|X|\leq 2^{c(X)\cdot\overline{\Delta}(X)}$; (2) $|X|\leq 2^{\overline{\Delta}(X)\cdot 2^{wL(X)}}$; (3) $|X|\le wL(X)^{\overline{\Delta}(X)\cdot\chi(X)}$; and (4) $|X|\le aL(X)^{\overline{\Delta}(X)}$; where $\chi(X)$, $c(X)$, $wL(X)$ and $aL(X)$ are respectively the character, the cellularity, the weak Lindel\"of number and the almost Lindel\"of number of $X$. The first inequality extends to the uncountable case Buzyakova's result that the cardinality of a ccc-space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $2^\omega$. It follows from (2) that every weakly Lindel\"of space with a regular $G_\delta$-diagonal has cardinality at most $2^{2^\omega}$. Inequality (3) implies that when $X$ is a space with a regular $G_\delta$-diagonal then $|X|\le wL(X)^{\chi(X)}$. This improves significantly Bell, Ginsburg and Woods inequality $|X|\le 2^{\chi(X)wL(X)}$ for the class of normal spaces with regular $G_\delta$-diagonals. In particular (3) shows that the cardinality of every first countable space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $wL(X)^\omega$. For the class of spaces with regular $G_\delta$-diagonals (4) improves Bella and Cammaroto inequality $|X|\le 2^{\chi(X)\cdot aL(X)}$, which is valid for all Urysohn spaces. Also, it follows from (4) that the cardinality of every space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $aL(X)^\omega$.

研究动机与目标

• 将 Buzyakova 关于具有正规 $G_\delta$-对角线的 ccc 空间的结论推广到不可数可分性的情形，通过将界 $|X| \leq 2^{\omega}$ 推广为 $|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$。
• 通过证明对于具有正规 $G_\delta$-对角线的空间有 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$，改进 Bell、Ginsburg 和 Woods 对正规空间的不等式 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$。
• 通过在相同正规对角线条件下证明 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$，强化 Bella 与 Cammaroto 对 Urysohn 空间的界 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$。
• 通过证明正规 $G_\delta$-对角线条件比标准 $G_\delta$-对角线强得多，因为它对基数有更紧密的限制，从而弥合了文献中的一个空白。

提出的方法

• 将正规对角线度 $\Delta(X)$ 定义为满足对角线 $\Delta_X$ 是 $X^2$ 中 $G_\kappa$-集的最小 $\kappa$。
• 通过构造嵌套的开覆盖族 $\{U_\eta : \eta < \kappa\}$ 来分离点，确保对 $x \neq y$ 有 $\bigcap_{\eta < \kappa} \operatorname{st}(U_\eta(x,y), U_\eta) \cap \{y\} = \emptyset$。
• 应用弱 Lindel"of 数和几乎 Lindel"of 数来限制这些覆盖中选定集合的可能交集数量。
• 证明每个点 $x$ 可以通过交集 $\bigcap_{\eta < \kappa} D_{x,\eta}$ 恢复，其中 $D_{x,\eta}$ 是大小不超过 $\operatorname{wL}(X)$ 或 $\operatorname{aL}(X)$ 的子族中的元素。
• 通过计算此类可能交集的数量，推导出基数界：$|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 和 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$。
• 证明不同交集的数量被 $\tau^\kappa$ 有界，其中 $\tau$ 是弱或几乎 Lindel"of 数，且 $\kappa = \Delta(X)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有具有正规 $G_\delta$-对角线的 Urysohn 空间，不等式 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 是否成立？
• RQ2 能否将空间具有正规 $G_\delta$-对角线时的界 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ 改进为 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$？
• RQ3 正规 $G_\delta$-对角线条件是否足以保证弱 Lindel"of 空间的 $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$？
• RQ4 几乎 Lindel"of 数 $\operatorname{aL}(X)$ 是否通过 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ 限制具有正规 $G_\delta$-对角线的 Urysohn 空间的基数？
• RQ5 能否用 $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$ 限制具有正规 $G_\delta$-对角线的首 countable Urysohn 空间的基数？

主要发现

• 对任意 Urysohn 空间 $X$，有 $|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$，将 Buzyakova 的结果从可数情形推广到不可数情形。
• 每个具有正规 $G_\delta$-对角线的弱 Lindel"of 空间满足 $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$，表明正规 $G_\delta$-对角线比标准 $G_\delta$-对角线具有更强的限制。
• 对任意具有正规 $G_\delta$-对角线的 Urysohn 空间，有 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$，这改进了 Bell、Ginsburg 和 Woods 对正规空间的界 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$。
• 每个具有正规 $G_\delta$-对角线的首 countable Urysohn 空间的基数至多为 $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$，相比先前的指数界有显著改进。
• 对任意具有正规 $G_\delta$-对角线的 Urysohn 空间，有 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$，这改进了 Bella 与 Cammaroto 的不等式 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$。
• 每个具有正规 $G_\delta$-对角线的几乎 Lindel"of Urysohn 空间的基数至多为 $2^{\omega}$，特别地，有 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\omega}$。