[论文解读] Carleman estimate for linear viscoelasticity equations and an inverse source problem

Oleg Imanuvilov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文为非紧支集解的线性黏弹性系统建立了 Carleman 估计，利用伪微分算子处理解耦的散度与旋度分量。该估计被应用于证明反源问题中的 Lipschitz 稳定性，唯一确定了在长时间区间内从侧边界子区域的 Neumann 数据中恢复空间变化源因子的结果。

ABSTRACT

We consider the linear system of viscoelasticity with the homogeneous Dirichlet boundary condition. First we prove a Carleman estimate with boundary values of solutions of viscoelasticity system. Since a solution $u$ under consideration is not assumed to have compact support, in the decoupling of the Lamé operator by introducing div $u$ and rot $u$, we have no boundary condition for them, so that we have to carry out arguments by a pseudodifferential operator. Second we apply the Carleman estimate to an inverse source problem of determining a spatially varying factor of the external source in the linear viscoelastitiy by extra Neumann data on the lateral subboundary over a sufficiently long time interval and establish the stability estimate.

研究动机与目标

• 为解在时空上不具紧支集时的线性黏弹性系统发展 Carleman 估计。
• 克服 Lamé 算子与黏弹性模型中积分记忆项之间强耦合的挑战。
• 建立反源问题中的稳定性，通过 Neumann 边界测量唯一确定外力的空间变化因子。
• 将 Carleman 估计推广至非紧支集系统，实现在实际观测条件下的反问题分析。

提出的方法

• 利用伪微分算子管理解耦的 div u 与 rot u 分量的边界条件，为黏弹性系统推导 Carleman 估计。
• 通过引入位移向量的散度与旋度，对 Lamé 算子进行解耦，将其视为独立变量处理。
• 使用大参数的加权 $ L^2 $-范数估计控制解，同时保留黏弹性算子的完整结构。
• 通过在足够长的时间区间内在侧边界子区域利用 Neumann 数据，将 Carleman 估计应用于反源问题。
• 通过 G 5arding 型不等式与加权 Sobolev 空间中的能量估计建立稳定性估计。
• 利用截断函数与符号估计控制由非紧支集与边界层效应引起的误差项。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解在时空上不具紧支集时，能否为线性黏弹性系统建立 Carleman 估计？
• RQ2 在缺乏紧支集的条件下，如何处理 Lamé 算子的强耦合性？
• RQ3 是否能仅通过长时间区间内在侧边界子区域的 Neumann 数据，唯一确定外源的空间变化因子？
• RQ4 在部分边界观测条件下，黏弹性反源问题的稳定性估计可如何推导？
• RQ5 伪微分算子技术能否有效处理解耦系统中散度与旋度分量缺乏边界条件的问题？

主要发现

• 为不假设解具紧支集的线性黏弹性系统建立了 Carleman 估计，利用伪微分算子处理解耦的散度与旋度分量。
• Carleman 估计在大参数下一致成立，并在加权 $ L^2 $-范数下控制解，从而实现可观测性与唯一性结果。
• 证明了反源问题的 Lipschitz 稳定性：外力的空间变化因子可由在足够长时间区间内在侧边界子区域的 Neumann 数据唯一确定。
• 稳定性估计以观测子边界与源支撑集之间的距离为度量，显式依赖于几何结构与系数的正则性。
• 该方法依赖于符号属于 $ C^2_{cl}S^{2,s} $ 的伪微分算子的 G 5arding 型不等式，通过截断函数与 Sobolev 范数控制误差项。
• 通过将核函数 $ \widetilde{\lambda}, \widetilde{\mu} $ 视为时空上的光滑函数，分析中处理了黏弹性方程中的积分记忆项。