[论文解读] Carrollian hydrodynamics and symplectic structure on stretched horizons

Laurent Freidel, Puttarak Jai-akson|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 6

一句话总结

本文通过洛伦兹流体动力学与辛几何，统一描述了广义相对论中的类时拉伸视界与光锥视界。通过使用超曲面的规化技术，建立了拉伸视界上引力自由度与洛伦兹流体变量之间的几何字典，表明视界上的爱因斯坦方程退化为洛伦兹流体动力学的守恒律，而预辛势与诺特定荷则完全以流体共轭变量表达。

ABSTRACT

The membrane paradigm displays underlying connections between a timelike stretched horizon and a null boundary (such as a black hole horizon) and bridges the gravitational dynamics of the horizon with fluid dynamics. In this work, we revisit the membrane viewpoint of a finite distance null boundary and present a unified geometrical treatment to the stretched horizon and the null boundary based on the rigging technique of hypersurfaces. This allows us to provide a unified geometrical description of null and timelike hypersurfaces, which resolves the singularity of the null limit appearing in the conventional stretched horizon description. We also extend the Carrollian fluid picture and the geometrical Carrollian description of the null horizon, which have been recently argued to be the correct fluid picture of the null boundary, to the stretched horizon. To this end, we draw a dictionary between gravitational degrees of freedom on the stretched horizon and the Carrollian fluid quantities and show that Einstein's equations projected onto the horizon are the Carrollian hydrodynamic conservation laws. Lastly, we report that the gravitational pre-symplectic potential of the stretched horizon can be expressed in terms of conjugate variables of Carrollian fluids and also derive the Carrollian conservation laws and the corresponding Noether charges from symmetries.

研究动机与目标

• 通过基于规化技术的统一框架，统一类时拉伸视界与光锥视界的几何描述。
• 将此前仅适用于光锥视界的洛伦兹流体图像，拓展至有限距离的拉伸视界。
• 建立拉伸视界上引力变量与洛伦兹流体量（如能量密度、动量通量与粘性）之间的精确对应关系字典。
• 表明投影到拉伸视界的爱因斯坦方程等价于洛伦兹流体动力学的守恒律。
• 从引力理论的辛结构推导出拉伸视界上的预辛势与诺特定荷，以流体共轭变量表达。

提出的方法

• 利用规化技术在类时与光锥超曲面上定义一致的几何结构，解决了传统拉伸视界描述中的奇异极限问题。
• 引入规化度量、规化导数与规化联络，以在拉伸视界上定义协变导数与曲率，实现一致的几何处理。
• 通过投影爱因斯坦-希尔伯特作用量，推导出拉伸视界上的引力预辛势，并以能量密度与动量通量等流体共轭变量表达。
• 通过将视界的外曲率、剪切与膨胀映射为洛伦兹流体变量（如应力-能量张量与电流密度），建立流体-引力字典。
• 应用协变相空间形式化，推导与切向对称性相关的诺特定荷，表明其对应于守恒的流体量。
• 利用莱布尼茨法则与几何恒等式，简化诱导度量与联络的变分，从而以流体变量形式导出最终的预辛势。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用统一的数学框架，统一拉伸视界与光锥视界的几何描述？
• RQ2 拉伸视界上引力自由度与洛伦兹流体变量之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 投影到拉伸视界的爱因斯坦方程如何退化为洛伦兹流体动力学的守恒律？
• RQ4 拉伸视界上的引力预辛势能否以洛伦兹流体共轭变量表达？
• RQ5 拉伸视界上切向微分同胚的诺特定荷与洛伦兹流体图像中的守恒量有何关联？

主要发现

• 拉伸视界上的预辛势完全以洛伦兹流体共轭变量表达，包括能量密度、动量通量与度量变分。
• 投影到拉伸视界的爱因斯坦方程等价于洛伦兹流体的守恒律，其应力-能量张量与电流密度与流体的流体动力学量完全匹配。
• 表面引力变分 δκ 自然地源于几何量的变分，与流体图像一致。
• 与拉伸视界上切向微分同胚相关的诺特定荷，由辛结构导出，并与守恒的流体荷完全匹配。
• 辛势包含一项与 (δα - δᾱ)/2 成正比的项，对应于视界面积形式的变分，与流体的熵类似变量相联系。
• 推导结果确认，拉伸视界上的引力动力学与洛伦兹流体动力学完全等价，几何量与流体变量之间的完整字典已建立。