[论文解读] Cartan connections and path structures with large automorphisms groups

Elisha Falbel, Martin Mion-Mouton+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在自守群非紧致的条件下，对具有严格路径结构（即接触分布与固定接触形式）的紧致3-流形进行分类。利用与该结构相关的Cartan联络，作者证明曲率恒定，并表明此类流形在有限覆叠或接触形式的常数缩放下，局部同构于左不变结构下的SL(2,R)的万有覆叠，或模一个共(compact)格的Heisenberg群。

ABSTRACT

In this (unpublished) improved version, we withdraw the hypothesis of a dense orbit of the automorphism group in the main Theorem 1.1 when the structure is class C^3.

研究动机与目标

• 对具有严格路径结构（接触分布与固定接触1-形式）且自守群非紧致的紧致连通3维流形进行分类。
• 将Ghys对接触-Anosov流的分类推广至更广泛的几何结构，无需依赖如部分双曲性或Anosov性等特殊动力行为。
• 证明：若非紧致自守群作用具有稠密轨道，则Cartan联络的曲率必为常数，从而导致局部齐性。
• 表明此类结构在有限覆叠或接触形式的常数缩放下，局部同构于SL(2,R)的万有覆叠或Heisenberg群。

提出的方法

• 将严格路径结构表示为基于齐性空间的Cartan几何，利用与几何结构相关的Cartan联络。
• 利用非紧致自守群下Cartan联络的不变性，推导出其曲率的大多数分量为零。
• 借助局部自守群作用下存在稠密轨道的事实，推导出结构具有局部齐性。
• 应用Cartan几何与李群理论的结果，对可能的全局模型进行分类，重点分析SL(2,R)的万有覆叠与Heisenberg群。
• 利用路径提升性质及万有覆叠中测地线的完备性，证明发展映射为覆叠映射。
• 分析Heis(3) ⋊ R*在Heis(3)上作用于共(compact)格的离散子群结构，证明若作用自由且共(compact)，则中心流必为周期性的。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有严格路径结构且自守群非紧致的紧致3-流形的全局几何模型是什么？
• RQ2 在局部自守群作用下存在稠密轨道时，如何约束相关Cartan联络的曲率？
• RQ3 接触-Anosov流在3-流形上的分类能否推广至包含所有自守群非紧致的严格路径结构？
• RQ4 在何种条件下，紧致3-流形上的严格路径结构局部同构于Heisenberg群或SL(2,R)的万有覆叠？
• RQ5 Heis(3) ⋊ R*在Heis(3)上具有共(compact)、自由、离散作用时，对中心流施加了何种结构约束？

主要发现

• 当自守群非紧致且作用具有稠密轨道时，与严格路径结构相关的Cartan联络的曲率为常数。
• 任何具有严格路径结构且自守群非紧致的紧致3-流形，其局部同构于SL(2,R)的万有覆叠（带左不变结构）或模一个共(compact)格的Heisenberg群。
• 若结构为C3类或C2类且具有稠密局部自守轨道，则全局结构为fSL(2,R)关于自由、适当、共(compact)作用的离散子群的商，或Heis(3)关于共(compact)格的商的有限覆叠。
• 若作用自由、适当且共(compact)，则商Γ\Heis(3)上的中心流必为周期性的，这意味着到R*的投影的核必须包含中心的一个非平凡离散子群。
• Γ\Heis(3)上结构的自守群若非紧致且自由作用，则其自守群中中心化子必须包含于Heis(3)，从而迫使该格为全群的有限指数子群。
• 该分类在有限覆叠或接触形式的常数缩放下成立，且在给定假设下，仅有两种可能的局部模型：fSL(2,R)与Heis(3)。