[论文解读] Cartan subalgebras and the UCT problem, II

Selçuk Barlak, Xin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用 9

一句话总结

本文建立了C*-代数理论中UCT问题与有限群作用下不变Cartan子代数存在性之间的深刻联系。研究证明，对于Cuntz代数$\mathcal{O}_2$上外的、强近似内的有限循环群作用，其交叉积满足UCT当且仅当该作用保持一个Cartan子代数——从而通过Cartan子代数给出了UCT问题的新刻画。

ABSTRACT

We show that outer approximately represenbtable actions of a finite cyclic group on UCT Kirchberg algebras satisfy a certain quasi-freeness type property if the corresponding crossed products satisfy the UCT and absorb a suitable UHF algebra tensorially. More concretely, we prove that for such an action there exists an inverse semigroup of homogeneous partial isometries that generates the ambient C*-algebra and whose idempotent semilattice generates a Cartan subalgebra. We prove a similar result for actions of finite cyclic groups with the Rokhlin property on UCT Kirchberg algebras absorbing a suitable UHF algebra. These results rely on a new construction of Cartan subalgebras in certain inductive limits of Cartan pairs. We also provide a characterisation of the UCT problem in terms of finite order automorphisms, Cartan subalgebras and inverse semigroups of partial isometries of the Cuntz algebra $\mathcal{O}_2$. This generalizes earlier work of the authors.

研究动机与目标

• 研究UCT问题与C*-代数中Cartan子代数之间的关系。
• 确定UCT在有限循环群交叉积下是否保持不变。
• 通过$\mathcal{O}_2$中$\alpha$-不变Cartan子代数的存在性，对UCT问题进行刻画，针对外的、强近似内$\mathbb{Z}_p$-作用。
• 发展一种在归纳极限C*-代数中构造Cartan子代数的新方法，该方法本身具有独立兴趣。

提出的方法

• 利用Renault对具有Cartan子代数的C*-代数的刻画：即作为扭曲的拓扑群胚。
• 应用Kirchberg-Phillips分类定理，分析由交叉积产生的$M_{p^\infty}$-吸收Kirchberg代数。
• 采用一种在归纳极限C*-代数中构造Cartan子代数的新方法，特别针对$\mathcal{O}_2$。
• 利用逆半群的紧C*-代数理论，将$\mathcal{O}_2$实现为$C^*_{\text{tight}}(\mathcal{S})$，其中$\mathcal{S}$为合适的逆半群。
• 应用近似表示性和$KK$-等价性结果，将不变Cartan子代数的存在性与UCT联系起来。
• 依赖于一个事实：所有具有Cartan子代数的可分核C*-代数均满足UCT，该结论基于Tu与Renault的工作。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于素数$p$，UCT问题是否可约化为在$\mathcal{O}_2$中存在$\alpha$-不变Cartan子代数的问题，其中$\alpha$为外的、强近似内$\mathbb{Z}_p$-作用？
• RQ2 是否能通过存在$\alpha$-一致的逆半群$\mathcal{S}$来刻画UCT，使得$C^*(E)$在$\mathcal{O}_2$和固定点代数$\mathcal{O}_2^\alpha$中均为Cartan子代数，且实现近似表示性的单位元位于$C^*(E)$中？
• RQ3 UCT问题是否等价于在$\mathcal{O}_2$中存在一个全局不变的Cartan子代数，该子代数对所有外的、强近似内$\mathbb{Z}_p$-作用（$p=2$或$p=3$）均不变？
• RQ4 该归纳极限C*-代数中Cartan子代数的新构造方法，是否可用于分类或实现所有可分类的稳定有限C*-代数？

主要发现

• 对于每个外的、强近似内$\mathbb{Z}_p$-作用，UCT问题等价于$\mathcal{O}_2$中存在$\mathbb{Z}_p$-不变Cartan子代数。
• 对每个素数$p \geq 2$，交叉积$\mathcal{O}_2 \rtimes_\alpha \mathbb{Z}_p$满足UCT当且仅当存在一个$\alpha$-一致的逆半群$\mathcal{S}$，使得$C^*(E)$在$\mathcal{O}_2$和$\mathcal{O}_2^\alpha$中均为Cartan子代数，且实现近似表示性的单位元位于$C^*(E)$中。
• 所处理的作用类足够丰富，足以刻画UCT问题：$\mathcal{O}_2$上的每个此类作用均产生UCT交叉积，当且仅当所有可分核C*-代数均满足UCT。
• 在归纳极限C*-代数中构造Cartan子代数的新方法本身具有独立兴趣，并已被用于在所有可分类的单位元稳定有限C*-代数中构造Cartan子代数。
• UCT问题等价于在$\mathcal{O}_2$中存在一个Cartan子代数，该子代数对所有外的、强近似内$\mathbb{Z}_p$-作用（$p=2$或$p=3$）均全局不变，且通过定理4.16可推广至所有素数。
• 该结果证实，UCT问题等价于$\mathcal{O}_2$中存在不变Cartan子代数的几何-拓扑条件，从而将算子代数、动力系统与拓扑学联系起来。