[论文解读] Cartan subalgebras in C*-algebras

Jean Renault|ArXiv.org|Mar 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通过将Cartan子代数定义为极大阿贝尔自伴子代数（masa），并要求其正则且存在忠实的条件期望，提出了Feldman-Moore定理在C*-代数中的类比。研究证明，每个此类Cartan子代数均可源自一个本质上主的、豪斯多夫的、埃莱特群胚及其扭结构，从而推广了Kumjian早期的结果，并将其适用范围扩展至图C*-代数和叶状C*-代数。

ABSTRACT

According to J. Feldman and C. Moore's well-known theorem on Cartan subalgebras, a variant of the group measure space construction gives an equivalence of categories between twisted countable standard measured equivalence relations and Cartan pairs, i.e. a von Neumann algebra (on a separable Hilbert space) together with a Cartan subalgebra. A. Kumjian gave a C*-algebraic analogue of this theorem in the early eighties. After a short survey of maximal abelian self-adjoint subalgebras in operator algebras, I present a natural definition of a Cartan subalgebra in a C*-algebra and an extension of Kumjian's theorem which covers graph algebras and some foliation algebras.

研究动机与目标

• 将Kumjian的C*-对角理论扩展至包含非主群胚的情形，例如图代数和叶状丛所导出的群胚。
• 通过引入更广泛的Cartan子代数类，解决Kumjian原始定理在具有非平凡稳定子的代数中失效的问题。
• 在C*-代数中的Cartan子代数与本质上主的、豪斯多夫的、埃莱特群胚及其扭结构之间建立范畴等价。
• 阐明唯一扩张性质的作用及其与群胚主性的关联。
• 研究Cartan子代数与连续迹C*-代数中Dixmier-Douady不变量之间的关系。

提出的方法

• 在C*-代数中引入Cartan子代数的新定义：即正则且存在忠实条件期望的masa。
• 利用群胚C*-代数构造，实现本质上主的、豪斯多夫的、埃莱特群胚及其扭结构的约化C*-代数。
• 证明此类群胚单位空间上的连续函数子代数是Cartan子代数。
• 应用对偶性与群胚上同调技术，证明每个Cartan子代数均可源自此类群胚与扭结构。
• 利用Pedersen理想与轨道空间分析，刻画Cartan子代数具有唯一扩张性质的条件。
• 通过群胚上同调，将Cartan子代数相关的扭结构与连续迹C*-代数中的Dixmier-Douady不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个包含非主群胚的C*-代数类Feldman-Moore定理的类比？
• RQ2 在何种条件下C*-代数存在Cartan子代数，且其是否唯一？
• RQ3 群胚中非平凡稳定子的存在如何影响masa与条件期望的结构？
• RQ4 Cartan子代数相关的扭结构与连续迹C*-代数中Dixmier-Douady不变量之间存在何种关系？
• RQ5 H^3(T, Z)中的每个Cech上同调类是否都能实现为具有Cartan子代数的C*-代数的Dixmier-Douady不变量？

主要发现

• C*-代数中的Cartan子代数被定义为正则且存在忠实条件期望的masa。
• 本质上主的、豪斯多夫的、埃莱特群胚及其扭结构的单位空间上的连续函数子代数是Cartan子代数。
• 每个Cartan子代数均可源自此类群胚与扭结构，从而建立完整的同构不变量。
• Cartan子代数具有唯一扩张性质，当且仅当其对应的群胚是主群胚。
• 在连续迹C*-代数中，仅当相关向量丛可分解为线丛时，Cartan子代数才存在，而这种情况并非总是可能。
• 在连续迹C*-代数中，Cartan子代数相关的扭结构通过群胚上同调与Dixmier-Douady不变量对应。