[论文解读] Cartesian Differential Comonads and New Models of Cartesian Differential Categories

Sacha Ikonicoff, Jean-Simon Pacaud Lemay|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Mathematical Control Systems and Analysis被引用 4

一句话总结

本文引入了笛卡尔微分余单子——其余Kleisli范畴为笛卡尔微分范畴的余单子——从而将微分范畴余单子构造笛卡尔微分范畴的方法进行推广。通过幂级数、除法幂代数和Zinbiel代数构造了新例子，将微分的范畴语义拓展至传统微分范畴之外。

ABSTRACT

Cartesian differential categories come equipped with a differential combinator that formalizes the derivative from multi-variable differential calculus, and also provide the categorical semantics of the differential $\\lambda$-calculus. An important source of examples of Cartesian differential categories are the coKleisli categories of the comonads of differential categories, where the latter concept provides the categorical semantics of differential linear logic. In this paper, we generalize this construction by introducing Cartesian differential comonads, which are precisely the comonads whose coKleisli categories are Cartesian differential categories, and thus allows for a wider variety of examples of Cartesian differential categories. As such, we construct new examples of Cartesian differential categories from Cartesian differential comonads based on power series, divided power algebras, and Zinbiel algebras.

研究动机与目标

• 通过识别其余Kleisli范畴为笛卡尔微分范畴的余单子，推广笛卡尔微分范畴的构造方法。
• 提供超越源自微分范畴的笛卡尔微分范畴的新一类例子。
• 探索幂级数、除法幂代数和Zinbiel代数等新代数结构作为笛卡尔微分余单子的来源。
• 为未来在笛卡尔微分余单子背景下研究积分、原函数及Eilenberg-Moore范畴奠定基础。

提出的方法

• 将笛卡尔微分余单子定义为余Kleisli范畴继承笛卡尔微分结构的余单子。
• 利用导出变换和余单子结构映射在余Kleisli范畴上构造微分组合子。
• 证明笛卡尔微分余单子的余Kleisli范畴满足笛卡尔微分范畴的七个公理。
• 在约化幂级数、除法幂代数和Zinbiel代数的范畴上，提供笛卡尔微分余单子的显式构造。
• 验证所导出的微分组合子满足多元微积分的标准恒等式，如链式法则和偏导数的对称性。
• 利用余Kleisli构造将光滑映射（作为余Kleisli映射）提升，并从范畴论角度定义其导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 余单子需满足何种条件，才能确保其余Kleisli范畴为笛卡尔微分范畴？
• RQ2 如何从幂级数和除法幂代数等代数结构构造笛卡尔微分范畴的新例子？
• RQ3 Zinbiel代数能否支持笛卡尔微分余单子结构，其诱导的微分组合子形式如何？
• RQ4 笛卡尔微分余单子与已知的笛卡尔微分范畴嵌入到微分（存储）范畴余Kleisli范畴之间的关系为何？
• RQ5 在笛卡尔微分余单子背景下，积分与原函数应如何推广？

主要发现

• 笛卡尔微分余单子正是其余Kleisli范畴为笛卡尔微分范畴的余单子，从而推广了从微分范畴构造的标准方法。
• 在R-模范畴上，约化幂级数余单子的余Kleisli范畴构成一个笛卡尔微分范畴，其幂级数映射的导数通过标准多元导数定义。
• 在R-模范畴上，除法幂代数余单子的余Kleisli范畴构成一个笛卡尔微分范畴，其微分组合子对应于除法幂多项式的导数。
• 在R-模范畴上，Zinbiel代数余单子的余Kleisli范畴构成一个笛卡尔微分范畴，其微分组合子由Zinbiel导数给出：∂ΓV(p)(x,y,x*,y*) = x*⊗y + y⊗x* + y*⊗x + x⊗y*。
• 本文识别出幂级数和Zinbiel代数情形下积分组合子变换的潜在候选，为微分理论与积分理论的统一提供了路径。
• 未来工作表明，笛卡尔微分余单子的Eilenberg-Moore范畴可能构成一个切范畴，从而推广微分范畴中已知的结果。