[论文解读] Cartesian Differential Storage Categories

Richard Blute, J.R.B. Cockett+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用 17

一句话总结

本文引入了笛卡尔微分存储范畴作为框架，用于从其 coKleisli 范畴重构张量微分范畴，确立了笛卡尔微分范畴中的线性映射构成张量微分范畴的条件。主要贡献在于对笛卡尔微分范畴作为张量微分范畴的 coKleisli 范畴何时出现给出了自然刻画，从而填补了微分范畴语义学中长期存在的空白。

ABSTRACT

Cartesian differential categories were introduced to provide an abstract axiomatization of categories of differentiable functions. The fundamental example is the category whose objects are Euclidean spaces and whose arrows are smooth maps. Tensor differential categories provide the framework for categorical models of differential linear logic. The coKleisli category of any tensor differential category is always a Cartesian differential category. Cartesian differential categories, besides arising in this manner as coKleisli categories, occur in many different and quite independent ways. Thus, it was not obvious how to pass from Cartesian differential categories back to tensor differential categories. This paper provides natural conditions under which the linear maps of a Cartesian differential category form a tensor differential category. This is a question of some practical importance as much of the machinery of modern differential geometry is based on models which implicitly allow such a passage, and thus the results and tools of the area tend to freely assume access to this structure. The purpose of this paper is to make precise the connection between the two types of differential categories. As a prelude to this, however, it is convenient to have available a general theory which relates the behaviour of "linear" maps in Cartesian categories to the structure of Seely categories. The latter were developed to provide the categorical semantics for (fragments of) linear logic which use a "storage" modality. The general theory of storage, which underlies the results mentioned above, is developed in the opening sections of the paper and is then applied to the case of differential categories.

研究动机与目标

• 通过识别笛卡尔微分范畴中的线性映射在何种条件下构成张量微分范畴，以弥合笛卡尔微分范畴与张量微分范畴之间的鸿沟。
• 在笛卡尔范畴中发展存储模态的一般理论，将线性逻辑的语义扩展至微分结构。
• 通过 Seely 范畴与 coKleisli 构造的视角，阐明可微函数与线性逻辑之间的范畴关系。
• 提供一种可微映射的直接、公理化框架，避免通过 coKleisli 范畴进行间接构造。

提出的方法

• 引入笛卡尔微分存储范畴作为具有存储模态的笛卡尔微分范畴的推广，满足 Seely 同构与交错律。
• 使用 Fuhrmann 的抽象 Kleisli 构造的对偶来建模张量微分范畴的 coKleisli 范畴。
• 通过验证所需的微分恒等式与一致性条件，证明笛卡尔微分存储范畴中的线性映射构成张量微分范畴。
• 利用项逻辑与范畴推理，证明涉及偏导数与微分组合子 D 的关键恒等式。
• 将理论应用于证明：闭微分存储范畴恰好是张量微分存储范畴的 monoidal closed coKleisli 范畴。
• 利用交错律与存储同构，推导出涉及 D、m× 与 ε 的表达式之间的结构等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，笛卡尔微分范畴可作为张量微分范畴的 coKleisli 范畴出现？
• RQ2 如何将笛卡尔微分范畴中的线性映射重构为张量微分范畴？
• RQ3 笛卡尔范畴中带有存储模态的哪些结构性质可确保其线性映射构成张量微分范畴？
• RQ4 在自然公理下，张量微分范畴的 coKleisli 范畴能否被完全表征为笛卡尔微分范畴？
• RQ5 存储模态在范畴语义中连接线性逻辑与微分微积分的角色是什么？

主要发现

• 若一个笛卡尔微分范畴的线性映射满足交错律与 Seely 同构，则其可作为张量微分范畴的 coKleisli 范畴出现。
• 带有存储模态的张量微分范畴的 coKleisli 范畴是一个笛卡尔微分范畴，证实了这两个框架之间的对偶性。
• 微分组合子 D 满足一组完整的恒等式，使得在范畴设定下能够重构高阶导数。
• 项逻辑推导表明，零点处的偏导数可用来在关键恒等式中替换任意映射 φ 与 η，同时保持结构等价性。
• 交错律确保了微分结构与张量积之间的兼容性，从而支持导数的一致复合。
• 闭微分存储范畴恰好是单峰闭张量微分存储范畴的 coKleisli 范畴，建立了精确的范畴对应关系。