[论文解读] Cartesian Tree Matching and Indexing

Sung Gwan Park, Amihood Amir+2 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Algorithms and Data Compression参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文提出了一种名为笛卡尔树匹配的新字符串匹配范式，即当两字符串生成相同的笛卡尔树时即视为匹配。该文提出了基于父节点距离表示的线性时间算法，用于单模式与多模式匹配，并引入了笛卡尔后缀树数据结构，其可在 O(n) 随机化时间内构建，从而实现对数值字符串模式的高效索引，适用于金融时间序列分析等应用。

ABSTRACT

We introduce a new metric of match, called Cartesian tree matching, which means that two strings match if they have the same Cartesian trees. Based on Cartesian tree matching, we define single pattern matching for a text of length n and a pattern of length m, and multiple pattern matching for a text of length n and k patterns of total length m. We present an O(n+m) time algorithm for single pattern matching, and an O((n+m) log k) deterministic time or O(n+m) randomized time algorithm for multiple pattern matching. We also define an index data structure called Cartesian suffix tree, and present an O(n) randomized time algorithm to build the Cartesian suffix tree. Our efficient algorithms for Cartesian tree matching use a representation of the Cartesian tree, called the parent-distance representation.

研究动机与目标

• 解决在相对值比绝对值更重要的时间序列数据中模式匹配的需求。
• 提出一种新的匹配度量——笛卡尔树匹配，基于笛卡尔树的结构等价性，而非精确的字符序列。
• 为该新度量设计高效的单模式与多模式匹配算法。
• 设计并构建一种新型索引结构——笛卡尔后缀树，以支持在大文本中快速模式搜索。
• 在金融市场监管分析等实际应用中实现支持，其中如“头肩顶”等模式由相对极值结构定义，而非绝对数值。

提出的方法

• 将笛卡尔树匹配定义为：当两字符串对应的笛卡尔树同构时即视为匹配。
• 引入父节点距离表示（PDR），以紧凑且高效的方式表示笛卡尔树，从而实现线性时间比较。
• 利用 PDR 设计一种 O(n + m) 时间复杂度的单模式匹配算法，通过比较文本子串与模式的 PDR 实现。
• 通过使用随机化算法实现 O(n + m) 时间复杂度的多模式匹配，或通过确定性算法实现 O((n + m) log k) 时间复杂度。
• 通过将所有后缀的父节点距离表示建模为拟后缀集合，构建笛卡尔后缀树，满足 Cole 和 Hariharan 的线性时间后缀树构建条件。
• 利用基于公式 1 的字符查询接口，在树构建过程中实现对 PDR 元素的常数时间访问，从而确保 O(n) 期望时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的字符串匹配度量，以捕捉数值字符串中的结构性模式（如相对极值），且独立于绝对值？
• RQ2 能否为该新度量设计出 O(n + m) 时间复杂度的单模式与多模式匹配算法？
• RQ3 能否为笛卡尔树匹配构建类似后缀树的索引结构？若能，是否可在线性时间内构建？
• RQ4 父节点距离表示是否能在实际中实现笛卡尔树的高效比较与索引？
• RQ5 与现有的广义匹配模型（如顺序保持匹配或参数化匹配）相比，笛卡尔树匹配在捕捉时间序列数据中有意义模式方面表现如何？

主要发现

• 笛卡尔树匹配是一种新颖的匹配度量，当两字符串的笛卡尔树结构完全相同时即视为匹配，可有效检测如‘头肩顶’等相对极值模式。
• 父节点距离表示支持笛卡尔树的线性时间比较，为高效算法奠定了基础。
• 本文提出一种 O(n + m) 时间复杂度的单模式匹配算法，显著优于朴素方法。
• 对于多模式匹配，论文实现了 O(n + m) 随机化时间复杂度或 O((n + m) log k) 确定性时间复杂度，适用于大规模模式集合的可扩展处理。
• 引入了笛卡尔后缀树作为新型索引结构，支持高效的模式搜索，并可使用 Cole 和 Hariharan 的算法在 O(n) 期望时间内构建。
• 该构建过程依赖于将后缀的父节点距离表示建模为拟后缀集合，满足线性时间构建所需的各项性质，并结合字符查询接口。