[论文解读] Castelnuovo-Mumford regularity of ladder determinantal varieties and patches of Grassmannian Schubert varieties

Jenna Rajchgot, Colleen Robichaux+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2022

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 4

一句话总结

本文通过推导1432-避免和楔形排列索引的格罗滕迪克多项式次数公式，为单边混合阶梯行列式理想和格拉斯曼Schubert子簇提供了显式的组合公式，用于计算卡斯特尔努沃-穆尔福迪正则性。关键贡献在于基于罗思图和杨图中对角线与反对角线路径大小的正则性公式，修正了库姆米尼-拉克什米巴伊-萨斯特里-塞沙德里的猜想。

ABSTRACT

We give degree formulas for Grothendieck polynomials indexed by vexillary permutations and $1432$-avoiding permutations via tableau combinatorics. These formulas generalize a formula for degrees of symmetric Grothendieck polynomials which appeared in previous joint work of the authors with Y. Ren and A. St. Dizier. We apply our formulas to compute Castelnuovo-Mumford regularity of classes of generalized determinantal ideals. In particular, we give combinatorial formulas for the regularities of all one-sided mixed ladder determinantal ideals. We also derive formulas for the regularities of certain Kazhdan-Lusztig ideals, including those coming from open patches of Schubert varieties in Grassmannians. This provides a correction to a conjecture of Kummini-Lakshmibai-Sastry-Seshadri (2015).

研究动机与目标

• 使用组合方法计算单边混合阶梯行列式理想的卡斯特尔努沃-穆尔福迪正则性。
• 将先前关于格拉斯曼矩阵Schubert子簇的研究扩展到更一般的行列式理想类。
• 修正并完善库姆米尼-拉克什米巴伊-萨斯特里-塞沙德里关于Schubert子簇中卡扎丹-卢斯特里格理想正则性的猜想。
• 通过卡扎丹-卢斯特里格理想建立阶梯行列式理想与格拉斯曼Schubert子簇之间的联系。
• 利用表组合学与排列模式，提供显式可计算的正则性公式。

提出的方法

• 使用表组合学推导1432-避免和楔形排列索引的格罗滕迪克多项式的次数公式。
• 在罗思图和杨图中定义子集σₖ(w)和τₖ(v)，以计算对角线与反对角线路径大小。
• 使用公式 reg(S/I_w) = ∑ₖ ρ_d(σₖ(w)) 计算1432-避免排列的正则性，以及 reg(S/I_v) = ∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) 计算楔形排列的正则性。
• 利用格拉斯曼排列u和g，建立阶梯行列式理想与卡扎丹-卢斯特里格理想J_{u,g}之间的联系。
• 应用Lenart（2007）关于对称格罗滕迪克多项式的结果，并将其推广至非对称情形。
• 利用恒等式 deg(𝐺_𝑤) = #D(w) + reg(S/I_w) 从次数公式推导正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 单边混合阶梯行列式理想的卡斯特尔努沃-穆尔福迪正则性是什么？
• RQ2 如何通过组合方法计算格拉斯曼Schubert子簇的正则性？
• RQ3 1432-避免和楔形排列的格罗滕迪克多项式次数能否通过图示路径计数表达？
• RQ4 库姆米尼-拉克什米巴伊-萨斯特里-塞沙德里关于卡扎丹-卢斯特里格理想正则性的猜想是否成立？若不成立，正确的公式是什么？
• RQ5 在格拉斯曼情形下，阶梯行列式理想与卡扎丹-卢斯特里格理想之间存在何种关系？

主要发现

• 对于1432-避免排列矩阵Schubert子簇的坐标环，其正则性由 ∑ₖ ρ_d(σₖ(w)) 给出，其中ρ_d测量σₖ(w)中最大的对角线。
• 对于楔形排列，正则性为 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v))，其中ρ_a测量τₖ(v)中最大的反对角线，从而为单边混合阶梯行列式理想提供了公式。
• 对于1432-避免排列w，格罗滕迪克多项式𝔾_w的次数为 #D(w) + reg(S/I_w)，其中#D(w)为Coxeter长度。
• 单边阶梯行列式理想I_L,r的正则性等于 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v))，其中v是由阶梯的标记点与秩定义的关联楔形排列。
• 本文通过证明某些卡扎丹-卢斯特里格理想J_{u,g}的正则性为 ∑ₖ ρ_a(τₖ(v)) 而非先前猜想的公式，修正了库姆米尼-拉克什米巴伊-萨斯特里-塞沙德里的猜想。
• 单边阶梯行列式理想的K-多项式等于关联楔形排列的格罗滕迪克多项式，从而可通过图示路径分析实现正则性的计算。