[论文解读] Castelnuovo-Mumford regularity of products of ideals

Aldo Conca, Jürgen Herzog|ArXiv.org|Oct 4, 2002

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用 144

一句话总结

本文证明了由线性形式生成的理想之积——特别是域上多项式环中的情形——具有线性解析，且此类积的Castelnuovo-Mumford正则性满足 reg(IM) ≤ reg(M) + reg(I)。核心贡献在于证明任意由线性形式生成的理想之积均具有线性解析，该结论基于初等分解与具有线性商的理想的理论，扩展了关于多胞形理想与稳定理想已知的结果。

ABSTRACT

We discuss the behavior of the Castelnuovo-Mumford regularity under certain operations on ideals and modules, like products or powers. In particular, we show that reg(IM) can be larger than reg(M)+reg(I) even when I is an ideal of linear forms and M is a module with a linear resolution. On the other hand, we show that any product of ideals of linear forms has a linear resolution. We also discuss the case of polymatroidal ideals and show that any product of determinantal ideals of a generic Hankel matrix has a linear resolution.

研究动机与目标

• 确定当 IM 的 Castelnuovo-Mumford 正则性满足 reg(IM) ≤ reg(M) + reg(I) 时，这一自然但通常不成立的不等式是否成立。
• 研究该正则性界是否对由线性形式或正则序列生成的理想成立。
• 将关于理想幂的正则性界结果推广至不同理想之积的情形。
• 证明由线性形式生成的理想之积具有线性解析，这是一个出人意料且普遍成立的结果。
• 表明具有线性商的理想——如多胞形理想或稳定理想——在积运算下保持优良的正则性性质。

提出的方法

• 利用分次 Betti 数与 Tor 模来通过 tR_i(M) = max{j | βR_ij(M) ≠ 0} 定义并分析 Castelnuovo-Mumford 正则性。
• 运用几乎正则序列及其相关正合列的概念，通过 Tor 模的长正合列推导正则性界。
• 应用线性商的概念：即其后继生成元的商理想由线性形式生成的理想。
• 使用首项理想与 Gröbner 基技术，特别是通过单项式的 σ-序，分析积的结构。
• 利用单项式到 >1-链的典范分解，并定义 γ-函数以描述首项理想的生成元。
• 证明在特定总序 σ 下，Hankel 矩阵的子式理想之积的首项理想具有线性商，从而蕴含线性解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由线性形式生成的理想之积，不等式 reg(IM) ≤ reg(M) + reg(I) 是否成立？
• RQ2 能否以因子正则性的线性函数形式界定理想之积的正则性？
• RQ3 多胞形理想之积是否仍为多胞形理想，因而具有线性解析？
• RQ4 在何种条件下，具有线性商的性质在理想积运算下得以保持？
• RQ5 由一般 Hankel 矩阵的子式理想之积是否具有线性解析？

主要发现

• 任何由线性形式生成的理想之积均具有线性解析，该结果通过初等分解与 >1-链的典范分解结构证明。
• 在特定总序 σ 下，一般 Hankel 矩阵的子式理想之积的首项理想具有线性商，从而蕴含线性解析。
• 多胞形理想之积仍为多胞形理想，因此具有线性解析，这是多胞形理想和已知结果的推论。
• 当理想 I 关于 M 为几乎正则序列且关于 R 为正则时，积 IM 的正则性满足 reg(IM) ≤ reg(M) + reg(I)。
• 对于维数 ≤1 的理想，不等式 reg(I^k) ≤ k·reg(I) 成立，推广了 Chandler 的结果。
• Hankel 矩阵的子式理想之积 It1⋯Itk 的首项理想 J 由满足 γi(m) ≥ γi(t1,…,tp) 的单项式生成，且在 σ-序下 J 具有线性商。