[论文解读] Castelnuvo Function, Zero-dimensional Schemes and Singular Plane Curves

Gert–Martin Greuel, Christoph Lossen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 26

一句话总结

本文利用曲线奇点的不变量及Castelnuovo函数的性质，为具有指定类型r个奇点的d次平面曲线族建立了新的T-光滑性（预期维数的光滑性）或不可约性的充分条件。研究证明了无穷近点簇的零维概形的Hilbert概形的不可约性，并推导出理想层的新消去定理，其应用涵盖尖点曲线情形，其中各分量的基群保持为阿贝尔群。

ABSTRACT

We study families V of curves in P2(C) of degree d having exactly r singular points of given topological or analytic types. We derive new sufficient conditions for V to be T-smooth (smooth of the expected dimension), respectively to be irreducible. For T-smoothness these conditions involve new invariants of curve singularities and are conjectured to be asymptotically proper, i.e., optimal up to a constant factor. To obtain the results, we study the Castelnuovo function, prove the irreducibility of the Hilbert scheme of zero-dimensional schemes associated to a cluster of infinitely near points of the singularities and deduce new vanishing theorems for ideal sheaves of zero-dimensional schemes in P2. Moreover, we give a series of examples of cuspidal curves where the family V is reducible, but where ss1(P2nC) coincides (and is abelian) for all C 2 V .

研究动机与目标

• 确定奇异平面曲线族为T-光滑或不可约的充分条件。
• 引入控制T-光滑性的曲线奇点新不变量。
• 证明与奇点处无穷近点簇相关的Hilbert概形的不可约性。
• 建立P²中零维概形的理想层的新消去定理。
• 分析尖点曲线族虽为可约但其阿贝尔基本群同构的情形。

提出的方法

• 通过分析Castelnuovo函数，推导曲线奇点的不变量。
• 研究奇点处无穷近点簇产生的零维概形。
• 证明参数化此类概形的Hilbert概形的不可约性。
• 应用上同调技巧，建立P²中理想层的新消去定理。
• 利用变形理论与模空间技术，评估曲线族的维数与光滑性。
• 构造可约尖点曲线族的显式例子，其基本群为阿贝尔群且各分量同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些奇点不变量决定了平面曲线族的T-光滑性？
• RQ2 在何种条件下，具有指定奇点的曲线族是不可约的？
• RQ3 Castelnuovo函数如何与奇点及模空间的几何相关联？
• RQ4 与无穷近点簇相关的零维概形的Hilbert概形何时不可约？
• RQ5 尖点曲线族是否可能可约，但其基本群仍同构且为阿贝尔群？

主要发现

• 利用奇点不变量推导出新的T-光滑性充分条件，其猜想在渐近意义下为最优。
• 证明了与无穷近点簇相关的零维概形的Hilbert概形不可约。
• 建立了P²中零维概形的理想层的新消去定理。
• 构造出曲线族可约但其补集基本群为阿贝尔群且所有分量同构的实例。
• 表明Castelnuovo函数在控制曲线族维数与光滑性方面起核心作用。
• 结果表明所提出的T-光滑性条件近乎最优，猜想在常数因子意义下渐近精确。