[论文解读] Catalan's intervals and realizers of triangulations

Olivier Bernardi, Nicolas Bonichon|ArXiv.org|Apr 27, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出了一种对非交叉 Dyck 路径对（Stanley 区间）与三角剖分实现实之间的双射 $Φ$ 的简化描述。它证明了 $Φ$ 限制在 Tamari 区间与最小实现实之间构成双射——建立了 Tamari 区间与三角剖分之间的直接双射联系；并限制在 Kreweras 区间与既是最小又是最大的实现实之间——由此给出了三元树计数公式的全新双射证明。

ABSTRACT

The Stanley lattice, Tamari lattice and Kreweras lattice are three remarkable orders defined on the set of Catalan objects of a given size. These lattices are ordered by inclusion: the Stanley lattice is an extension of the Tamari lattice which is an extension of the Kreweras lattice. The Stanley order can be defined on the set of Dyck paths of size $n$ as the relation of \emph{being above}. Hence, intervals in the Stanley lattice are pairs of non-crossing Dyck paths. In a former article, the second author defined a bijection $Φ$ between pairs of non-crossing Dyck paths and the realizers of triangulations (or Schnyder woods). We give a simpler description of the bijection $Φ$. Then, we study the restriction of $Φ$ to Tamari's and Kreweras' intervals. We prove that $Φ$ induces a bijection between Tamari intervals and minimal realizers. This gives a bijection between Tamari intervals and triangulations. We also prove that $Φ$ induces a bijection between Kreweras intervals and the (unique) realizers of stack triangulations. Thus, $Φ$ induces a bijection between Kreweras intervals and stack triangulations which are known to be in bijection with ternary trees.

研究动机与目标

• 简化并重新解释非交叉 Dyck 路径对与三角剖实现实之间双射 $Φ$ 的构造。
• 研究 $Φ$ 在 Tamari 区间上的限制，并刻画其对应的实现实。
• 分析 $Φ$ 在 Kreweras 区间上的限制，并识别其关联的实现实。
• 通过 $Φ$ 提供已知的 Tamari 与 Kreweras 区间计数公式的双射证明。
• 建立 Tamari 区间与三角剖分之间、以及 Kreweras 区间与三元树之间的直接对应关系。

提出的方法

• 使用基于路径操作与树重构的更简单几何构造，重新表述非交叉 Dyck 路径对与实现实之间的双射 $Φ$。
• 通过 Dyck 路径比较与路径变换，定义 Stanley、Tamari 与 Kreweras 格中的覆盖关系。
• 根据实现实中两棵树的父子关系，刻画最小与最大实现实。
• 使用归纳法与路径形变技术，证明通过局部操作修改 Dyck 路径时，其对应实现实的最小性与最大性得以保持。
• 证明：通过局部路径操作将 Dyck 路径 $Q$ 修改为 $Q'$ 后，所得实现实 $R'$ 为最小且最大，当且仅当 $Q'$ 在 Kreweras 格中被 $Q$ 覆盖。
• 应用 Lindström–Gessel–Viennot 引理推导 Stanley 区间的数量，并利用生成函数验证 Tamari 区间的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何简化并重新表达非交叉 Dyck 路径对与三角剖实现实之间双射 $Φ$ 的构造？
• RQ2 在双射 $Φ$ 下，Tamari 区间对应哪一类实现实？
• RQ3 在双射 $Φ$ 下，Kreweras 区间对应哪一类实现实？
• RQ4 能否通过 $Φ$ 为已知的 Tamari 与 Kreweras 区间计数公式提供双射证明？
• RQ5 哪些三角剖分具有既是最小又是最大的实现实？它们与三元树有何关联？

主要发现

• 双射 $Φ$ 在 Tamari 区间与三角剖分的最小实现实之间诱导出一一对应关系，从而建立了公式 $|\mathcal{L}^{T}_{n}| = \frac{2(4n+1)!}{(n+1)!(3n+2)!}$ 的双射证明。
• 每个三角剖分都有唯一的最小实现实，因此双射 $Φ$ 限制为 Tamari 区间与三角剖分之间的直接双射。
• 双射 $Φ$ 在 Kreweras 区间与既是最小又是最大的实现实之间诱导出一一对应关系，且这些实现实与三元树之间存在双射。
• 对既是最小又是最大的实现实的刻画，导出了三元树计数公式 $|\mathcal{L}^{K}_{n}| = \frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$ 的新双射证明。
• 通过局部路径操作将 Dyck 路径 $Q$ 修改为 $Q'$ 所得实现实 $R'$ 为最小且最大，当且仅当 $Q'$ 在 Kreweras 格中被 $Q$ 覆盖。
• 该证明使用归纳法与路径形变技术，表明修改后的实现实 $R'$ 满足最小性与最大性所必需的祖先-父辈关系条件。