[论文解读] Categorial L\'evy Processes

Malte Gerhold, Stephanie Lachs+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Rough Sets and Fuzzy Logic被引用 7

一句话总结

本文在具有初始单位对象的张量范畴中引入了范畴化的Lévy过程，将Franz的独立性概念推广至任意有序态射族。通过利用张量结构和初始单位，建立了类似于Daniell-Kolmogorov定理的构造，使得在范畴框架下能够从卷积半群重构Lévy过程。

ABSTRACT

We generalize Franz independence in tensor categories with inclusions from two morphisms (which represent generalized random variables) to arbitrary ordered families of morphisms. We will see that this only works consistently if the unit object is an initial object, in which case the inclusions can be defined starting from the tensor category alone. We define categorial L\'evy processes on every tensor categoriy with initial unit object and present a construction generalizing the reconstruction of a L\'evy process from its convolution semigroup via the Daniell-Kolmogorov theorem.

研究动机与目标

• 将Franz在张量范畴中关于独立性的概念从成对态射推广至任意有序态射族。
• 识别出使独立性一致推广所必需的范畴条件——单位对象为初始对象。
• 在单位对象为初始对象的张量范畴中，定义并构造范畴化的Lévy过程。
• 将经典的Daniell-Kolmogorov重构定理推广至范畴设定，建立卷积半群与Lévy过程之间的联系。

提出的方法

• 利用张量范畴结构，基于初始单位对象定义态射之间的包含关系。
• 利用张量积和初始对象的性质，为任意有序态射族定义广义独立性。
• 在张量结构下，通过满足相容性与独立性条件，将范畴化Lévy过程构造为一族态射。
• 建立一个类似于Daniell-Kolmogorov的重构定理，通过范畴极限从卷积半群推导出过程。
• 通过仅依赖张量范畴和初始单位，确保构造的一致性，无需额外数据。
• 将该框架应用于向量空间范畴，以恢复经典Lévy过程作为特例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种范畴条件下，可以将Franz的独立性概念推广至任意态射族？
• RQ2 单位对象的初始性质如何在张量范畴中实现包含关系与独立性的定义一致性？
• RQ3 能否建立范畴化的Daniell-Kolmogorov定理，以从卷积半群重构Lévy过程？
• RQ4 张量范畴的何种结构特征是定义范畴化Lévy过程的必要且充分条件？
• RQ5 经典Lévy过程如何嵌入到这一范畴框架中？

主要发现

• 为使独立性向任意态射族的推广保持一致，单位对象必须是初始的。
• 当单位对象为初始时，仅靠张量范畴结构即可定义包含关系与独立性。
• 范畴化Lévy过程可在任意具有初始单位对象的张量范畴中定义。
• 已建立范畴化Lévy过程的重构定理，将经典Daniell-Kolmogorov结果推广至范畴设定。
• 该框架在范畴概率论中统一并推广了经典Lévy过程。