[论文解读] Categorical descriptions of one-dimensional gapped phases with Abelian onsite symmetries

Rongge Xu, Zhihao Zhang|arXiv (Cornell University)|May 19, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用 8

一句话总结

本文提供了具有有限阿贝尔局部对称性的的一维胶合量子物相的范畴描述，表明其时空可观测量构成在拓扑子系统的张量中心上的富余融合范畴。该工作将早期关于伊辛链的结果推广至阿贝尔对称物相，通过拓扑Wick旋转与全息对偶性建立统一框架，并通过范畴方法重现了已知的分类结果。

ABSTRACT

In this work, we analyze the macroscopic observables in the 1+1D gapped phases with Abelian onsite symmetries and show that the spacetime observables for each gapped phase form a clear structure that can be mathematically described by enriched fusion categories, which uncovers the behavior of nonlocal excitations that were blurry in traditional Landau paradigm. These categorical descriptions not only generate the known classification results for symmetry preserving and breaking phases, but also unifies lattice dualities in a broader picture. After analyzing the general lattice model together with their boundaries, we give explicit examples including nontrivial SPT phase, where nontrivial boundaries can be given directly through our classification. Using enriched categorical descriptions, the lattice dualities and their gapped phases are unified under a holographic duality between an 2d. topological order with gapped 1d boundaries and 1+1D gapped quantum liquids with a categorical symmetry, which shed light on a unified definition of all quantum phases.

研究动机与目标

• 将胶合量子物相的范畴描述从伊辛链推广至具有有限阿贝尔局部对称性的通用1D系统。
• 阐明在长波长极限下，宏观可观测量——算符与态的拓扑子系统——如何形成富余融合范畴。
• 基于全息对偶性与拓扑Wick旋转，建立统一的框架以对所有1D胶合物相进行分类。
• 通过范畴对称性与到Drinfeld中心的辫子函子，利用范畴方法重现1D玻色子SPT物相的已知分类结果。
• 通过由群作用与等变化构造的富余范畴，为量子物相提供具体的数学结构。

提出的方法

• 作者分析具有阿贝尔局部对称群G的格点模型中态与算符的拓扑子系统，利用长波长极限提取宏观可观测量。
• 他们将态的拓扑子系统范畴构造为一个融合范畴S，将算符的拓扑子系统范畴构造为一个辫子融合范畴B。
• 算符与缺陷之间的融合相容性通过一个辫子函子φ: B → Z₁(S)（即S的Drinfeld中心）编码，从而赋予S一个B-富余结构。
• 该构造使用范畴上的等变化与群作用，描述对称性保持与对称性破缺的相，包括部分破缺的情形。
• 通过有限阿贝尔群的表示理论、傅里叶变换以及群代数上的双模进行显式计算，以计算内 Hom 与拉格朗日子群。
• 内 Hom [F_H, F_H] 的支撑被识别为 G ⊕ Ĝ 中的拉格朗日子群 H ⊕ Ŝ，从而确认了范畴分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有阿贝尔局部对称性的1D胶合物相的时空可观测量如何组织成范畴结构？
• RQ2 在全局阿贝尔对称性存在下，拓扑骨架与范畴对称性的精确数学描述是什么？
• RQ3 基于拓扑Wick旋转的全息对偶性在具有阿贝尔对称性的格点模型中如何体现？
• RQ4 能否从包含富余融合范畴与Drinfeld中心的范畴框架中，重现1D SPT相的已知分类？
• RQ5 在该范畴框架中，等变化与双模在描述对称性保持与对称性破缺相时起到什么作用？

主要发现

• 具有阿贝尔局部对称性的1D胶合物相的时空可观测量形成一个B-富余融合范畴S，其中B是算符拓扑子系统的辫子融合范畴。
• 辫子函子φ: B → Z₁(S) 编码了算符对缺陷的作用，并确保了算符融合与缺陷融合之间的一致性。
• 内 Hom [F_H, F_H] 同构于由拉格朗日子群 H ⊕ Ŝ ⊂ G ⊕ Ĝ 索引的简单对象的直和，从而确认了范畴分类。
• 拉格朗日代数 [F_H, F_H] 的支撑被显式计算为 H ⊕ Ŝ，与通过群上同调得到的1D SPT相分类结果一致。
• 该构造重现了具有阿贝尔对称群G的1D玻色子SPT相的分类，表明该范畴框架与已有结果一致。
• 该方法通过基于富余范畴与张量中心的单一范畴框架，统一描述了对称性保持与对称性破缺的相。