[论文解读] Categorical, Homological and Combinatorial Methods in Algebra

Sergio Estrada, Alina Iacob+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过引入关于右 R-模类 𝔹 的 Gorenstein 𝔹-平坦模，将已知的 R-模上的阿贝尔模型结构进行推广，确立了这些模构成遗传挠对并产生相对模型结构的条件。该框架被扩展至模的复形范畴，并比较了由此产生的模型结构的同伦范畴。

ABSTRACT

A recent result by J. Saroch and J. Sťov\'icek asserts that there is a unique abelian model structure on the category of left $R$-modules, for any associative ring $R$ with identity, whose (trivially) cofibrant and (trivially) fibrant objects are given by the classes of Gorenstein flat (resp., flat) and cotorsion (resp., Gorenstein cotorsion) modules. In this paper, we generalise this result to a certain relativisation of Gorenstein flat modules, which we call Gorenstein $\mathcal{B}$-flat modules, where $\mathcal{B}$ is a class of right $R$-modules. Using some of the techniques considered by Saroch and Sťov\'icek, plus some other arguments coming from model theory, we determine some conditions for $\mathcal{B}$ so that the class of Gorenstein $\mathcal{B}$-modules is closed under extensions. This will allow us to show approximation properties concerning these modules, and also to obtain a relative version of the model structure described before. Moreover, we also present and prove our results in the category of complexes of left $R$-modules, study other model structures on complexes constructed from relative Gorenstein flat modules, and compare these models via computing their homotopy categories.

研究动机与目标

• 将此前已知于 Gorenstein 平坦模与余挠模的 R-模上的阿贝尔模型结构推广至使用 Gorenstein 𝔹-平坦模的相对版本。
• 确定右 R-模类 𝔹 的条件，使得 Gorenstein 𝔹-平坦模类在扩张下封闭。
• 建立逼近性质，并基于 Gorenstein 𝔹-平坦模与 Gorenstein 𝔹-余挠模构造一个相对阿贝尔模型结构。
• 将结果扩展至左 R-模的复形范畴，分析由相对 Gorenstein 平坦模产生的多种模型结构。
• 通过其同伦范畴比较不同模型结构，为相对 Gorenstein 同调代数提供范畴框架。

提出的方法

• 将 Saroch 与 Sťov´icek 关于阿贝尔模型结构的技术适配至涉及右 R-模类 𝔹 的相对设定。
• 应用模型论论证分析可定义类，并确保 Gorenstein 𝔹-平坦模在扩张下的封闭性。
• 使用通过 𝔹 中模构成的投射展开定义相对 Gorenstein 平坦模（即 Gorenstein 𝔹-平坦模）。
• 证明当 𝔹 是在直接极限下封闭的可分解类时，Gorenstein 𝔹-平坦模类在扩张下封闭。
• 构造一个相对阿贝尔模型结构，其中纤维对象属于 Gorenstein 𝔹-平坦模类，纤维对象属于 Gorenstein 𝔹-余挠模类。
• 将构造扩展至 R-模复形范畴，利用导出范畴中的投射与内射展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右 R-模类 𝔹 满足何种条件时，Gorenstein 𝔹-平坦模类在扩张下封闭？
• RQ2 能否构造一个相对阿贝尔模型结构，使得纤维对象为 Gorenstein 𝔹-平坦模，纤维对象为 Gorenstein 𝔹-余挠模？
• RQ3 由相对 Gorenstein 平坦模构建的不同模型结构的同伦范畴如何比较？
• RQ4 在何种程度上，经典的 R-模上模型结构可被相对化，使用模类 𝔹 而非平凡类？
• RQ5 在相对同调代数背景下，Gorenstein 𝔹-平坦模的逼近性质是什么？

主要发现

• 当 𝔹 是在直接极限下封闭的可分解类时，Gorenstein 𝔹-平坦模类在扩张下封闭。
• 在左 R-模范畴上存在一个相对阿贝尔模型结构，其中纤维对象为 Gorenstein 𝔹-平坦模，纤维对象为 Gorenstein 𝔹-余挠模。
• 当 𝔹 是可分解类并满足某些同调条件时，该模型结构是遗传的。
• 该构造将 Saroch 与 Sťov´icek 的经典模型结构推广至使用类 𝔹 的相对设定。
• 在 R-模复形范畴中，由相对 Gorenstein 平坦模可产生多种模型结构，其同伦范畴通过同调等价映射进行比较。
• 相对模型结构的同伦范畴与具有 Gorenstein 𝔹-平坦上同调的复形的全子范畴等价。