[论文解读] Categorical properties on the hyperspace of nontrivial convergent sequences

S. Garcı́a-Ferreira, R. Rojas-Hernández+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文研究了在 Fréchet-Urysohn 空间 $X$ 上配备 Vietoris 拓扑的非平凡收敛序列的上空间 $χ_c(X)$ 的范畴性质——特别是 Baire 性质与第一纲性质。研究证明：若 $X$ 是稠密空间，则 $χ_c(X)$ 是第一纲；而 $χ_c(X)$ 为 Baire 空间仅当 $X$ 具有稠密的孤立点集。一个关键结果是：$χ_c(\omega_1)$ 配备序拓扑时是 Baire 空间，解决了早期研究中的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper, we shall study categorial properties of the hyperspace of all nontrivial convergent sequences $\mathcal{S}_c(X)$ of a Freéch-Urysohn space $X$, this hyperspace is equipped with the Vietoris topology. We mainly prove that $\mathcal{S}_c(X)$ is meager whenever $X$ is a crowded space, as a corollary we obtain that if $\mathcal{S}_c(X)$ is Baire, the $X$ has a dense subset of isolated points. As an interesting example $\mathcal{S}_c(ω_1)$ has the Baire property, where $ω_1$ carries the order topology (this answers a question from \cite{sal-yas}). We can give more examples like this one by proving that the Alexandroff duplicated $\mathcal{A}(Z)$ of a space $Z$ satisfies that $\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ has the Baire property, whenever $Z$ is a $Σ$-product of completely metrizable spaces and $Z$ is crowded. Also we show that if $\mathcal{S}_c(X)$ is pseudocompact, then $X$ has a relatively countably compact dense subset of isolated points, every finite power of $X$ is pseudocompact, and every $G_δ$-point in $X$ must be isolated. We also establish several topological properties of the hyperspace of nontrivial convergent sequences of countable Freéch-Urysohn spaces with only one non-isolated point.

研究动机与目标

• 研究 Fréchet-Urysohn 空间 $X$ 中非平凡收敛序列的上空间 $\mathcal{S}_c(X)$ 的范畴论性质（例如 Baire 性质、第一纲性质）。
• 确定 $X$ 与 $\mathcal{S}_c(X)$ 之间的拓扑关系，特别是 Baire 性质与第一纲性的关系。
• 刻画 $\mathcal{S}_c(X)$ 为 Baire 空间或伪紧空间的条件，并探讨 $X$ 中孤立点与 $G_\delta$-点的作用。
• 将结果推广至 Alexandroff 重复空间 $\mathcal{A}(Z)$，证明当 $Z$ 是完全度量空间的 $\Sigma$-积且 $Z$ 为稠密空间时，$\mathcal{S}_c(\mathcal{A}(Z))$ 为 Baire 空间。

提出的方法

• 上空间 $\mathcal{S}_c(X)$ 配备 Vietoris 拓扑，并通过 $X$ 中两两不交的开集有限族定义其标准基。
• 证明 $χ_c(\omega_1)$ 具有 Baire 性质的方法是构造可数个稠密开集的交集，并通过递归选择上空间中的基本开集。
• 对于 $χ_c(\mathcal{A}(Z))$，方法涉及在基空间 $Z$ 中构造集合 $B_n$ 和有限族 $\mathcal{U}_n$，通过确保闭包嵌套与支撑条件，定义 $\mathcal{A}(Z)$ 中的极限点。
• 构造利用了 $Z$ 的 $\Sigma$-积结构，以及支撑与投影的性质，以保证 $\mathcal{A}(Z)$ 中序列的收敛性。
• 证明借助引理 3.11，递归地寻找满足包含性、闭包性与支撑条件的基本开集，确保极限序列非平凡且收敛。
• 对 $χ_c(X)$ 的伪紧性分析表明：$X$ 必须具有相对可数紧致的孤立点稠密子集，且 $X$ 的所有有限次幂均为伪紧。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下 $χ_c(X)$ 是 Baire 空间？
• RQ2 当 $X$ 为稠密空间时，$χ_c(X)$ 何时为第一纲，特别是与 $X$ 的稠密性有何关系？
• RQ3 若 $χ_c(X)$ 为伪紧，$X$ 必须满足哪些拓扑性质？
• RQ4 当 $Z$ 是完全度量空间的 $\Sigma$-积时，$χ_c(\mathcal{A}(Z))$ 是否可能为 Baire 空间？
• RQ5 是否存在一个空间 $X$，使得 $χ_c(X)$ 为弱伪紧？

主要发现

• 若 $X$ 为稠密空间，则在 Vietoris 拓扑下 $χ_c(X)$ 为第一纲。
• $χ_c(X)$ 为 Baire 空间仅当 $X$ 具有稠密的孤立点子集。
• 配备序拓扑的上空间 $χ_c(\omega_1)$ 为 Baire 空间，回答了文献 [5] 中提出的问题。
• 若 $Z$ 是完全度量空间的 $\Sigma$-积且 $Z$ 为稠密空间，则 $χ_c(\mathcal{A}(Z))$ 为 Baire 空间。
• 若 $χ_c(X)$ 为伪紧，则 $X$ 具有相对可数紧致的孤立点稠密子集。
• 在伪紧的 $χ_c(X)$ 中，$X$ 的每个 $G_\delta$-点必须是孤立点。