[论文解读] Categorical representations of categorical groups

John W. Barrett, Marco Mackaay|ArXiv.org|Jul 27, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 50

一句话总结

本文建立了范畴群的范畴表示的张量2-范畴，将群表示理论推广至高阶范畴。研究表明，尽管表示可以不可约但非不可约——揭示了比经典表示理论更丰富的结构——但在1维情况下，得到的是适合3维和4维流形的拓扑态和不变量的半单范畴。

ABSTRACT

The representation theory for categorical groups is constructed. Each categorical group determines a monoidal bicategory of representations. Typically, these categories contain representations which are indecomposable but not irreducible. A simple example is computed in explicit detail.

研究动机与目标

• 开发范畴群的表示理论，类比经典群表示理论。
• 构建范畴表示的张量2-范畴，推广群表示的张量范畴。
• 研究不可约与不可分解范畴表示的结构，特别是不可分解但非不可约表示的现象。
• 通过一个简单例子的显式计算，阐明一般范畴表示的复杂性。
• 探索利用这些范畴表示构造四维流形中拓扑态和不变量的潜力。

提出的方法

• 将范畴群定义为范畴中的群对象，等价于群的交叉模。
• 使用严格张量函子作为态射，构建范畴表示的张量2-范畴。
• 通过一个简单例子（G(2,3)）的显式矩阵计算，剖析范畴表示，展示非不可约的不可分解表示。
• 利用从基群到对称群的同态及群2-上循环，刻画1维范畴表示。
• 通过特征空间的轨道分解，将不可分解表示及其互化子描述为齐次向量丛。
• 通过分解轨道的乘积，分析表示的张量积，表明可约的不可分解表示可能产生。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在高阶范畴框架下将群的表示理论推广至范畴群？
• RQ2 范畴群的范畴表示所形成的张量2-范畴具有何种结构？
• RQ3 为何存在不可分解但非不可约的范畴表示？它们如何被分类？
• RQ4 1维范畴表示能否产生适合拓扑态和模型的半单张量2-范畴？
• RQ5 群2-上循环和投影作用在分类范畴表示之间的1-互化子中起什么作用？

主要发现

• 范畴群的范畴表示形成一个张量2-范畴，扩展了经典群表示的张量范畴。
• 存在不可约但非不可约的不可分解范畴表示，其分类由基群及其稳定子子群作用下的特征轨道决定。
• 在1维情形下，范畴表示是半单的，从而产生适合构造拓扑态和不变量的半单张量2-范畴。
• 不可分解表示之间的1-互化子对应于特征轨道乘积上的投影齐次向量丛，其作用由群2-上循环扭曲。
• 两个不可分解表示的张量积可能包含可约的不可分解表示，表明一般情况下结构并非半单。
• 一般范畴表示需要额外数据，如取值于(C*)^N的归一化群2-上循环，但由于额外的一致性条件，完整分类仍具复杂性。