[论文解读] Categorical structures enriched in a quantaloid: regular presheaves, regular semicategories

Isar Stubbe|ArXiv.org|Sep 24, 2004

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文在量化幺半群富集范畴的背景下引入了正规预层与正规半范畴，将莫里塔等价性推广至半范畴。研究证明，正规半范畴上的正规预层构成全预层范畴的必要（共）局部化，且通过正规半双模证明了莫里塔等价性，表明并非所有正规半范畴都与范畴等价。

ABSTRACT

We study presheaves on semicategories enriched in a quantaloid: this gives rise to the notion of regular presheaf. A semicategory is regular when its representable presheaves are regular, and its regular presheaves then constitute an essential (co)localization of the category of all of its presheaves. The notion of regular semidistributor allows to establish the Morita equivalence of regular semicategories. Continuous orders and Omega-sets provide examples.

研究动机与目标

• 将对称张量范畴中正规模与预层理论推广至量化幺半群富集半范畴。
• 在半范畴上定义并研究正规预层，其中表示预层是表示预层的列极限。
• 通过正规半双模建立正规半范畴的莫里塔型等价性。
• 表明正规半范畴与范畴本质不同，因为并非所有正规半范畴都与范畴莫里塔等价。
• 为基于连续序与Ω-集的局部上同调理论提供范畴框架。

提出的方法

• 将量化幺半群富集半范畴作为范畴的推广，其中对象在量化幺半群Q中富集。
• 将正规预层定义为可典范表示为表示预层列极限的预层。
• 引入Yoneda半函子，并将Yoneda预层识别为：与表示预层的同伦映射可恢复其取值的预层。
• 将预层范畴P𝒜构造为到正规预层全子范畴R𝒜的（共）局部化。
• 将正规半双模定义为在正规半范畴之间诱导莫里塔等价性的态射。
• 应用量化幺半群的柯西完备化，证明Idm(Matr(𝒬))是𝒬在量化幺半群2-范畴中的柯西完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将正规预层理论从对称张量范畴推广至量化幺半群富集半范畴？
• RQ2 在何种条件下，半范畴上的所有表示预层均为正规？此类半范畴具有何种结构？
• RQ3 如何通过正规半双模将莫里塔等价性推广至半范畴？
• RQ4 在半范畴中缺乏Yoneda引理的情况下，Yoneda半函子起何作用？
• RQ5 所有正规半范畴是否都与范畴莫里塔等价？抑或它们构成一个严格更大的类？

主要发现

• 正规半范畴上的正规预层构成全预层范畴P𝒜的全子范畴R𝒜，且为P𝒜的必要（共）局部化。
• （共）局部化中右伴随的像为Yoneda预层范畴Y𝒜。
• 两个正规𝒬-半范畴𝒜与ℬ之间存在莫里塔等价，当且仅当它们在正规半双模的2-范畴中同构。
• 并非每个正规𝒬-半范畴都与𝒬-范畴莫里塔等价，表明其与范畴存在根本性差异。
• 小量化幺半群𝒬在量化幺半群2-范畴中的柯西完备化为Idm(Matr(𝒬))，其具有所有绝对（共）极限。
• 对于Ω-集，正规预层恰好对应Ω-子集，将该理论与局部上的层论联系起来。