[论文解读] Categorically Morita Equivalent Compact Quantum Groups

Sergey Neshveyev, Makoto Yamashita|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文通过Tannaka–Krein对偶性，建立了紧凑量子群之间范畴Morita等价的动态表征。它表明，一个带有两个紧凑量子群作用的单位C*-代数，当且仅当作用是自由的、其固定点代数是有限维的，并且这些代数作为Frobenius代数彼此对偶时，会导出其表示范畴上的可逆双模范畴——这推广了双-Hopf–Galois条件。

ABSTRACT

We give a dynamical characterization of categorical Morita equivalence between compact quantum groups. More precisely, by a Tannaka--Krein type duality, a unital C$^*$-algebra endowed with commuting actions of two compact quantum groups corresponds to a bimodule category over their representation categories. We show that this bimodule category is invertible if and only if the actions are free, with finite dimensional fixed point algebras, which are in duality as Frobenius algebras in an appropriate sense. This extends the well-known characterization of monoidal equivalence in terms of bi-Hopf--Galois objects.

研究动机与目标

• 为紧凑量子群表示范畴之间的Morita等价提供范畴表征。
• 将已知的双-Hopf–Galois表征推广至范畴Morita等价的更广泛设定。
• 建立量子群的分析性质与其范畴表示理论结构之间的联系。
• 将G-Hopf–Galois对象的概念推广至一步构造范畴Morita等价量子群的方法。
• 阐明Frobenius代数及其对偶性在量子群作用产生的C*-张量范畴背景下的作用。

提出的方法

• 利用Tannaka–Krein对偶性，将带有两个紧凑量子群作用的C*-代数与它们表示范畴上的双模范畴相关联。
• 将G1-G2-等变有限生成右Hilbert A-模的范畴定义为编码双模结构的关键对象。
• 引入G1-G2-Morita–Galois条件：作用是自由的，固定点代数是有限维的，且AG1 ⊗A与AG2 ⊗A在与各自作用相容的方式下同构。
• 在C*-张量范畴中利用Frobenius代数结构，通过对偶性关联固定点代数AG1与AG2。
• 使用酉结构和内部Hom对象，验证所得的Q-system是不可约的，并满足酉性条件。
• 借助Drinfeld中心等价性和2-范畴对偶性，证明双模范畴的可逆性等价于G1-G2-Morita–Galois条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个紧凑量子群作用于A的等变Hilbert A-模双模范畴DA，何时作为(Rep G2)-(Rep G1)-双模范畴是可逆的？
• RQ2 在紧凑量子群的可交换作用下，何种精确代数条件能确保其表示范畴的范畴Morita等价？
• RQ3 在遍历作用情况下，G1-G2-Morita–Galois条件如何推广经典双-Hopf–Galois条件？
• RQ4 能否仅通过固定点代数的结构及其对偶性来表征紧凑量子群的范畴Morita等价？
• RQ5 Frobenius代数及其模范畴在实现表示范畴上的可逆双模范畴中起何种作用？

主要发现

• 等变有限生成右Hilbert A-模的双模范畴DA作为(Rep G2)-(Rep G1)-双模范畴是可逆的，当且仅当G1和G2在A上的作用是自由的，并且其固定点代数是有限维的。
• 固定点代数AG1与AG2在Frobenius代数的意义下彼此对偶，即AG1 ⊗A与AG2 ⊗A在与各自作用相容的方式下同构。
• G1-G2-Morita–Galois条件推广了双-Hopf–Galois条件：当作用是遍历的（即AG1 = C且AG2 = C）时，该条件退化为经典的双-Hopf–Galois对象结构。
• 与表示范畴中简单对象X相关联的对象¯XX是一个不可约Q-system，其关联的模结构是酉的。
• 映射µY µ∗Y等于d(¯XX)ιY，确认Q-system ¯XX满足标准Q-system公理，包括酉性条件。
• AG1与AG2之间的对偶性通过AG1 ⊗A与AG2 ⊗A之间的酉同构实现，且该同构结构在各自固定点代数的作用下保持不变。