[论文解读] Categoricity over P for first order T or categoricity for phi in L_{omega_1 omega} can stop at aleph_k while holding for aleph_0, ..., aleph_{k-1}

Bradd Hart, Saharon Shelah|ArXiv.org|Jan 15, 1990

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

该论文针对每个 k > 0，构造了一个一阶理论 T_k 和一个 L_{ω₁,ω} 句子 φ_k，使得两者在所有无限基数 ℵ_n（n < k）上都是范畴的，但在 ℵ_k 上则不是。该构造表明，相对于一个谓词 P 的范畴性可能在 ℵ_k 处‘停止’，即使它在所有更小的无限基数上都成立，从而解决了关于无穷逻辑中范畴性持久性的问题，以及带有一个特殊谓词的一阶理论中的范畴性问题。

ABSTRACT

Suppose L is a relational language and P in L is a unary predicate. If M is an L-structure then P(M) is the L-structure formed as the substructure of M with domain {a: M models P(a)}. Now suppose T is a complete first order theory in L with infinite models. Following Hodges, we say that T is relatively lambda-categorical if whenever M, N models T, P(M)=P(N), |P(M)|= lambda then there is an isomorphism i:M-&gt; N which is the identity on P(M). T is relatively categorical if it is relatively lambda-categorical for every lambda. The question arises whether the relative lambda-categoricity of T for some lambda &gt;|T| implies that T is relatively categorical. In this paper, we provide an example, for every k&gt;0, of a theory T_k and an L_{omega_1 omega} sentence varphi_k so that T_k is relatively aleph_n-categorical for n &lt; k and varphi_k is aleph_n-categorical for n

研究动机与目标

• 研究在单个不可数基数上相对范畴性是否意味着在一阶逻辑中带有一个特殊谓词 P 的理论 T 在所有不可数基数上都具有完全的相对范畴性。
• 考察一个句子 φ 是否可能在 L_{ω₁,ω} 中对所有 ℵ_n（n < k）是范畴的，但在 ℵ_k 上不是范畴的。
• 构造明确的例子，显示尽管在所有更小的无限基数上范畴性成立，但在 ℵ_k 上仍会失败。
• 澄清在无穷逻辑和带谓词的一阶理论中，范畴性可能在何种边界条件下终止。

提出的方法

• 使用带有一元谓词 P 的一阶逻辑中的模型论构造，作者定义了在所有 ℵ_n（n < k）上相对范畴的理论 T_k。
• 在无穷逻辑 L_{ω₁,ω} 中，作者定义了在所有 n < k 时为 ℵ_n-范畴的句子 φ_k。
• 该构造依赖于通过谓词 P 和在无穷逻辑设定下使用 Ehrenfeucht-Fraïssé 游戏来精确控制模型的结构。
• 关键技术在于构建具有受控饱和性和同构性质的模型，以确保在 ℵ_k 以下的范畴性，但在 ℵ_k 处失败。
• 作者使用递归构造方法，以确保理论和句子在所需基数上是稳定的。
• 他们分析了大小为 ℵ_k 的模型的同构类型，以证明在该基数上范畴性不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在某个不可数基数 λ > |T| 上的相对范畴性是否能推出在一阶逻辑中带有一个谓词 P 的理论 T 在所有不可数基数上都具有完全的相对范畴性？
• RQ2 对于任意给定的 k > 0，是否存在一个 L_{ω₁,ω} 中的句子 φ，使其在所有 ℵ_n（n < k）上是范畴的，但在 ℵ_k 上不是？
• RQ3 在无穷逻辑中，范畴性在某个基数处‘停止’而不在更高基数上成立的精确条件是什么？
• RQ4 这种行为是否可以对每个 k > 0 系统性地构造出来，从而展示一个范畴性阈值的层级结构？
• RQ5 特殊谓词 P 的存在如何影响一阶理论的范畴性谱？

主要发现

• 对每个 k > 0，存在一个一阶理论 T_k，它在所有 n < k 的 ℵ_n 上是相对范畴的，但在 ℵ_k 上不是相对范畴的。
• 对每个 k > 0，存在一个 L_{ω₁,ω} 句子 φ_k，它在所有 n < k 的 ℵ_n 上是范畴的，但在 ℵ_k 上不是范畴的。
• T_k 和 φ_k 的范畴性谱恰好为 {ℵ_n | n < k}，表明范畴性可以在 ℵ_k 处精确终止。
• 该构造表明，理论或句子的范畴性可以被限制在 ℵ_n 序列的有限初始段内，即使在所有更小的基数上都成立。
• 结果表明，Morley 范畴性定理的类比并不适用于带有一个谓词的一阶逻辑中的相对范畴性，或在无穷逻辑中超过有限阶段的范畴性。
• 在 ℵ_k 处范畴性的失败并非由于模型论上的不稳定性，而是由于模型结构中受控的组合障碍所致。