[论文解读] Categories for the practising physicist

Bob Coecke, Eric Paquette|ArXiv.org|May 19, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 57被引用 36

一句话总结

本文将范畴论作为理论物理的统一框架，强调张量范畴——特别是 FdHilb、Rel 和 2Cob——通过图示演算和紧致闭合结构来建模物理过程。它表明这些范畴在深层结构上具有相似性，包括内部余乘法半群与范畴矩阵演算，从而为拓扑量子场论和量子逻辑提供了范畴基础。

ABSTRACT

In this chapter we survey some particular topics in category theory in a somewhat unconventional manner. Our main focus will be on monoidal categories, mostly symmetric ones, for which we propose a physical interpretation. These are particularly relevant for quantum foundations and for quantum informatics. Special attention is given to the category which has finite dimensional Hilbert spaces as objects, linear maps as morphisms, and the tensor product as its monoidal structure (FdHilb). We also provide a detailed discussion of the category which has sets as objects, relations as morphisms, and the cartesian product as its monoidal structure (Rel), and thirdly, categories with manifolds as objects and cobordisms between these as morphisms (2Cob). While sets, Hilbert spaces and manifolds do not share any non-trivial common structure, these three categories are in fact structurally very similar. Shared features are diagrammatic calculus, compact closed structure and particular kinds of internal comonoids which play an important role in each of them. The categories FdHilb and Rel moreover admit a categorical matrix calculus. Together these features guide us towards topological quantum field theories. We also discuss posetal categories, how group representations are in fact categorical constructs, and what strictification and coherence of monoidal categories is all about. In our attempt to complement the existing literature we omitted some very basic topics. For these we refer the reader to other available sources.

研究动机与目标

• 为物理学家提供范畴论的入门介绍，重点聚焦于张量范畴与紧致闭合范畴。
• 展示尽管数学起源不同，FdHilb（有限维希尔伯特空间）、Rel（集合与关系）和 2Cob（流形与cobordism）之间仍存在结构上的相似性。
• 确立共享特征——图示演算、紧致闭合性与内部余乘法半群——为物理过程提供统一的范畴框架。
• 通过伽罗瓦伴随与余单子将范畴构造与量子逻辑及量子测量联系起来。
• 推动使用高维范畴来建模物理与计算中的过程修改与复合。

提出的方法

• 使用烹饪类比引入对象（食物类型）、态射（烹饪过程）以及复合（顺序与并行处理）。
• 通过张量积（例如 $A imes D$ 表示并行处理）引入张量结构，满足如 $(f oxtimes h) oxtimes (g oxtimes k) = (f oxtimes g) oxtimes (h oxtimes k)$ 的公理。
• 应用图示演算表示过程及其复合，实现在 FdHilb、Rel 和 2Cob 中的可视化推理。
• 通过对偶性与评估/共评估映射定义紧致闭合结构，实现图示中“导线弯曲”的操作。
• 在 FdHilb 和 Rel 中应用范畴矩阵演算，将线性代数与关系代数与范畴论联系起来。
• 使用伽罗瓦伴随建模最弱前置条件与量子蕴含，通过偏序范畴将逻辑与范畴论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管数学基础不同，如何在结构上统一 FdHilb、Rel 和 2Cob 等张量范畴？
• RQ2 内部余乘法半群与紧致闭合性在建模物理与计算过程方面起什么作用？
• RQ3 在紧致闭合范畴中，图示演算如何支持对量子过程与拓扑量子场论的推理？
• RQ4 伽罗瓦伴随与余单子以何种方式为量子逻辑与测量提供范畴基础？
• RQ5 高维范畴如何扩展对物理与计算中过程复合与修改的建模？

主要发现

• FdHilb、Rel 和 2Cob 均支持图示演算与紧致闭合结构，使过程的可视化推理成为可能。
• 等式 $(g oxtimes k) oxtimes (f oxtimes h) = (g oxtimes f) oxtimes (k oxtimes h)$ 普遍成立，反映了张量范畴的交换律。
• 范畴矩阵演算在 FdHilb 和 Rel 中均可实现，将线性代数与关系代数与范畴论联系起来。
• 量子逻辑的正交模律作为投影与萨斯基斯钩之间的伽罗瓦伴随出现，形式化了量子蕴含。
• 余单子可建模如量子测量等余代数结构，其中态被分解为新态与经典数据。
• 伴随函子的复合形成单子或余单子，其偏序对应物为闭包算子（如线性张量）。