[论文解读] Categories of contexts

Marcel Erné|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文通过引入两种关键的态射类型——概念态射与概念连续态射，建立了形式上下文范畴与完全格范畴之间的范畴等价与对偶关系。研究表明，在概念态射下，配备完全同态的完全格范畴是上下文范畴的全反射子范畴；而在概念连续态射下，存在一个对偶伴随关系，从而在约化上下文与不可约生成的完全格之间建立了范畴等价与对偶关系。

ABSTRACT

Morphisms between (formal) contexts are certain pairs of maps, one between objects and one between attributes of the contexts in question. We study several classes of such morphisms and the connections between them. Among other things, we show that the category CLc of complete lattices with complete homomorphisms is (up to a natural isomorphism) a full reflective subcategory of the category of contexts with so-called conceptual morphisms; the reflector associates with each context its concept lattice. On the other hand, we obtain a dual adjunction between CLc and the category of contexts with so-called concept continuous morphisms. Suitable restrictions of the adjoint functors yield a categorical equivalence and a duality between purified contexts and doubly based lattices, and in particular, between reduced contexts and irreducibly bigenerated complete lattices. A central role is played by continuous maps between closure spaces and by adjoint maps between complete lattices.

研究动机与目标

• 阐明形式上下文与其关联概念格之间的范畴关系。
• 定义并分析上下文之间两类不同的态射：概念态射与概念连续态射。
• 证明配备完全同态的完全格范畴是概念态射下上下文范畴的全反射子范畴。
• 在概念连续态射下，推导出完全格与上下文之间的对偶伴随关系。
• 通过受限伴随函子，建立约化上下文与不可约生成完全格之间的范畴等价与对偶关系。

提出的方法

• 将概念态射定义为保持关联关系并满足映射下预像闭包条件的上下文间映射对。
• 将概念连续态射定义为反映关联关系并满足与一般化和特化相关的连续性条件的映射对。
• 利用扩展与意图上的伴随映射及闭包系统，刻画完全格范畴中连续性与完备性的特征。
• 应用概念格函子将上下文映射到其关联的完全格，表明该函子在概念态射范畴中构成一个反射子。
• 限制伴随函子，建立约化上下文与不可约生成完全格之间的范畴等价。
• 利用标准上下文函子，通过不可约元素的最小上确界与下确界基，从格重构上下文。

实验结果

研究问题

• RQ1 上下文之间的概念态射与其概念格之间的完全同态之间有何关系？
• RQ2 在概念连续态射下，上下文范畴的范畴结构是怎样的？它与完全格之间有何关联？
• RQ3 是否可以在配备概念连续态射的完全格范畴与上下文范畴之间建立对偶伴随关系？
• RQ4 在何种条件下，约化上下文与不可约生成完全格之间会出现范畴等价？
• RQ5 完全格的上确界与下确界基如何与对偶性与等价性情境下的态射相互作用？

主要发现

• 配备完全同态的完全格范畴是概念态射下上下文范畴的全反射子范畴，其反射子即为概念格函子。
• 在概念连续态射下，完全格范畴与上下文范畴之间存在对偶伴随关系。
• 通过概念格函子与标准上下文函子，建立了约化上下文范畴与不可约生成完全格范畴之间的范畴等价。
• 在概念连续态射下，约化上下文范畴与不可约生成完全格范畴之间获得了对偶关系，其中完全同态保持最小上确界与下确界基。
• 约化上下文之间的概念态射与它们概念格之间保持不可约性的完全同态之间存在双射关系。
• 约化上下文上的剩余与余剩余态射对，与不可约生成完全格上相应类别的完全同态之间，分别呈现出等价与对偶关系。