[论文解读] Categories of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules

Ivan Penkov, Vera Serganova|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文引入并研究了无穷维李代数 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(...)$ 的可积 $\mathfrak{g}$-模的范畴 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$，其定义为在代数对偶化和有限 Loewy 长度下封闭的最大范畴。本文证明该范畴是半单的，且其单对象恰好为单张量模。范畴 $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ 被刻画为唯一最小的阿贝尔全子范畴，对张量积与对偶封闭，且包含非平凡模。

ABSTRACT

We investigate several categories of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules. In particular, we prove that the category of integrable $sl(\infty)$-, $o(\infty)$-, $sp(\infty)$-modules with finite-dimensional weight spaces is semisimple. The most interesting category we study is the category $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ of tensor modules. Its objects $M$ are defined as integrable modules of finite Loewy length such that the algebraic dual $M^*$ is also integrable and of finite Loewy length. We prove that the simple objects of $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ are precisely the simple tensor modules, i.e. the simple subquotients of the tensor algebra of the direct sum of the natural and conatural representations. We also study injectives in $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ and compute the Ext$^1$'s between simple modules. Finally, we characterize a certain subcategory $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ of $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ as the unique minimal abelian full subcategory of the category of integrable modules which contains a non-trivial module and is closed under tensor product and algebraic dualization.

研究动机与目标

• 定义并分析无穷维李代数 $\mathfrak{sl}(\infty)$, $\mathfrak{o}(\infty)$, $\mathfrak{sp}(\infty)$ 的自然可积模范畴，该范畴在代数对偶化和有限 Loewy 长度下封闭。
• 证明具有有限维权空间的可积权模范畴是半单的，将赫尔曼·外尔的半单性定理推广至这些无穷维李代数。
• 将张量模的范畴 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 刻画为该类范畴中最大的一个，并将其中的单对象识别为自然表示与余自然表示张量代数的单子商模。
• 研究内射对象，并计算 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中单模之间的 $\mathrm{Ext}^1$ 上同调群，从而揭示该范畴的结构特征。
• 证明 $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ 是可积模范畴中唯一最小的阿贝尔全子范畴，对张量积与代数对偶化封闭，且包含非平凡模。

提出的方法

• 作者将 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 定义为具有有限 Loewy 长度且在代数对偶化下封闭的可积 $\mathfrak{g}$-模的全子范畴。
• 他们利用 Loewy 长度与根基序列分析模及其对偶的结构，特别是在内射包中。
• 半单性的证明依赖于权空间的结构，以及该范畴中所有单模均为自然与余自然表示的有限张量积的子商模这一事实。
• 他们采用对偶函子 $M \mapsto M^*$，并证明其在 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中保持有限 Loewy 长度，从而使其成为该范畴上的反变对合函子。
• 通过证明任何对 $\otimes$ 与 $*$ 封闭的最小阿贝尔全子范畴都必须包含伴随表示，从而进而包含自然与余自然模，实现对 $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ 的刻画。
• 作者运用了局部有限李代数表示理论的结果，包括 $\mathfrak{g}$ 作为直极限的结构，以及通过最高权与对偶构造对单模的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(\infty)$，具有有限维权空间的可积 $\mathfrak{g}$-模范畴的结构如何？它是半单的吗？
• RQ2 在代数对偶化与有限 Loewy 长度下封闭的可积 $\mathfrak{g}$-模的最大范畴是什么？其性质如何？
• RQ3 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中的单对象是哪些？它们如何从自然与余自然表示构造出来？
• RQ4 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中内射对象与单模之间 $\mathrm{Ext}^1$ 上同调群的结构如何？
• RQ5 $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ 是可积模范畴中唯一最小的阿贝尔全子范畴，对张量积与代数对偶化封闭，它与自然表示的张量代数有何关系？

主要发现

• 对于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}(\infty), \mathfrak{o}(\infty), \mathfrak{sp}(\infty)$，具有有限维权空间的可积 $\mathfrak{g}$-模范畴是半单的，将赫尔曼·外尔的半单性定理推广至无穷维情形。
• 范畴 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 恰好由有限 Loewy 长度的可积模组成，且其代数对偶模亦为可积且具有有限 Loewy 长度。
• $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 的单对象恰好为 $\mathfrak{g}$ 的自然表示与余自然表示之直和的张量代数的单子商模。
• 在 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中，单模 $V_{\lambda}$ 的内射包 $I_{\lambda}$ 的根基序列满足：$\mathrm{soc}^k(I_{\lambda})$ 是形如 $X^\mu \otimes V_\mu$ 的单模的直和，其中 $\mu \in \Theta^k(\lambda)$，且 $X^\mu$ 为维数为 $2^{\mathbb{Z}}$ 的平凡模。
• $\mathrm{Tens}_{\mathfrak{g}}$ 是可积 $\mathfrak{g}$-模范畴中唯一最小的阿贝尔全子范畴，包含非平凡模，且对张量积与代数对偶化封闭。
• 范畴 $\widetilde{\mathrm{Tens}}_{\mathfrak{g}}$ 中的任意模均为其对偶模的根基的对偶模的子模，且该范畴在李代数同态下是函子性的。