[论文解读] Categorification and Dynamics in Generalised Braid Groups

Edmund Heng|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 1

一句话总结

本文通过利用范畴化Burau表示将秩二广义 braid 群实现为三角范畴的自同构等价类，建立了其范畴类比的 Nielsen-Thurston 分类。利用范畴熵（质量增长），该文提供了一种算法化分类方法，将群元素划分为可约、周期或伪阿诺索夫类型，其中伪阿诺索夫增长可通过秩二矩阵计算得出。

ABSTRACT

Recent developments in the theory of stability conditions and its relation to Teichmuller theory have revealed a deep connection between triangulated categories and surfaces. Motivated by this, we prove a categorical analogue of the Nielsen-Thurston classification theorem for the rank two generalised braid groups by viewing them as (sub)groups of autoequivalences of certain triangulated categories. This can be seen as a categorical generalisation of the classification known for the type $A$ braid groups when viewed as mapping class groups of the punctured discs. Firstly, we realise the generalised braid groups as groups of autoequivalences through categorical actions that categorify the corresponding Burau representations. These categorifications are achieved by constructing certain algebra objects in the tensor categories associated to the quantum group $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, generalising the construction of zigzag algebras used in the categorical actions of simply-laced-type braid groups to include the non-simply-laced-types. By viewing the elements of the generalised braid groups as autoequivalences of triangulated categories, we study their dynamics through mass growth (categorical entropy), as introduced by Dimitrov--Haiden--Katzarkov--Kontsevich. Our classification is then achieved in a similar fashion to Bestvina-Handel's approach to the Nielsen-Thurston classification for mapping class groups. Namely, our classification can be effectively decided through a given algorithm that also computes the mass growth of the group elements. Moreover, it shows that the mass growth of the pseudo-Anosov elements are computable from certain rank two matrices. This is the author's PhD thesis.

研究动机与目标

• 将 Nielsen-Thurston 分类推广至广义 braid 群，采用范畴动力学框架。
• 通过范畴化 Burau 表示，将广义 braid 群实现为三角范畴的自同构等价群。
• 建立基于范畴熵（质量增长）的可计算分类框架。
• 通过量子群 Uq(sl2) 代数对象，将 zigzag 代数构造推广至非单连通类型。
• 建立算法决策程序，用于分类元素并计算其动力学增长。

提出的方法

• 利用与 Uq(sl2) 相关的张量范畴中的代数对象，对广义 braid 群的 Burau 表示进行范畴化。
• 通过范畴作用，将广义 braid 群实现为三角范畴中的自同构等价群。
• 应用 Dimitrov 等人引入的范畴熵（质量增长）概念，以度量动力学复杂性。
• 利用 Bridgeland 稳定条件与弱 HN 分解，分析自同构等价的结构。
• 利用八面体翻转与内三角形的可约性，确定三角范畴中的测地线分层。
• 基于稳定条件数据与来自秩二子矩阵的矩阵不变量，构建算法分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在范畴框架下将 Nielsen-Thurston 分类推广至广义 braid 群？
• RQ2 如何通过范畴熵度量广义 braid 群元素的动力学？
• RQ3 稳定条件与 HN 分解在分类三角范畴自同构等价中起什么作用？
• RQ4 秩二矩阵在此设定下如何编码伪阿诺索夫元素的质量增长？
• RQ5 是否存在一种算法程序，可判定任一给定群元素的动力学类型？

主要发现

• 本文通过范畴熵，为秩二广义 braid 群元素提供了完整的算法化分类，将其划分为可约、周期或伪阿诺索夫类型。
• 伪阿诺索夫元素表现出可计算的质量增长，其值由自同构作用导出的秩二矩阵决定。
• 分层多边形的测地线性质在八面体翻转下保持不变，从而支持对三角范畴结构的分析。
• 通过特定 Hom 复形的消失性与稳定条件相容性，建立了测地线分层的充分条件。
• 通过 Uq(sl2)-相关张量范畴中的代数对象，将 zigzag 代数构造推广至非单连通类型。
• 该方法可有效计算所有群元素的范畴熵（质量增长），并为伪阿诺索夫情形提供了显式公式。