[论文解读] Categorification of (induced) cell modules and the rough structure of generalized Verma modules

Volodymyr Mazorchuk, Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文提出了有限Weyl群的Hecke代数的（诱导）细胞模的范畴化，证明在A型情形下，该范畴化仅依赖于细胞模的同构类。主要贡献是给出了A型李代数上抛物诱导模的重数公式，该公式确定了广义Verma模的大致结构，并在许多情形下为Kostant问题提供了肯定解答。

ABSTRACT

This paper presents categorifications of (right) cell modules and induced cell modules for Hecke algebras of finite Weyl groups. In type $A$ we show that these categorifications depend only on the isomorphism class of the cell module, not on the cell itself. Our main application is multiplicity formulas for parabolically induced modules over a reductive Lie algebra of type $A$, which finally determines the so-called rough structure of generalized Verma modules. On the way we present several categorification results and give the positive answer to Kostant's problem from \cite{Jo} in many cases. We also give a general setup of decategorification, precategorification and categorification.

研究动机与目标

• 为有限Weyl群的Hecke代数的（右）细胞模及其诱导模建立范畴化框架。
• 通过范畴化建立李代数表示理论与Kazhdan-Lusztig组合数学之间的联系。
• 利用来自范畴化的重数公式，确定广义Verma模的大致结构。
• 在许多情形下，特别是A型情形下，为Kostant问题提供肯定解答。
• 证明在A型中，细胞模的范畴化在等价意义下唯一，仅依赖于模的同构类。

提出的方法

• 构造与抛物子代数相关联的范畴$\mathcal{O}$的子范畴的商范畴，使其在转移函子下稳定，以实现细胞模的范畴化。
• 利用范畴化范畴的Grothendieck群，将细胞模恢复为Hecke代数上的模。
• 采用一般化的去范畴化、预范畴化与范畴化设定，形式化细胞模的范畴升级。
• 通过范畴$\mathcal{O}\{\mathfrak{p},\mathscr{A}\}$应用抛物诱导，关联不同范畴化并诱导模结构。
• 利用余核范畴$\mathscr{Y}_{\overline{N}}$与$\mathscr{Y}_{L(y\cdot\mu)}$的等价性，在模之间传递重数信息。
• 利用Kazhdan-Lusztig组合数学以及最高权范畴中标准模与正规标准模的结构，计算重数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Hecke代数的（诱导）细胞模能否以保持其表示论结构的方式实现范畴化？
• RQ2 在A型中，细胞模的范畴化是否在等价意义下唯一，仅依赖于模的同构类？
• RQ3 如何利用范畴化与重数公式确定广义Verma模的大致结构？
• RQ4 Kostant问题在A型广义Verma模中是否具有肯定解？
• RQ5 诱导细胞模的范畴化与范畴$\mathcal{O}$中抛物诱导模的结构之间有何关系？

主要发现

• 在A型中，细胞模的范畴化在等价意义下唯一：若两个细胞模同构，则其范畴化通过与Hecke代数作用可交换的函子实现等价。
• 本文建立了广义Verma模$\Delta(\mathfrak{p}, V_X)$的合成因子的重数公式，表明$[\Delta(\mathfrak{p}, V_X) : L(\mathfrak{p}, V_Y)] = [\Delta(\mathfrak{p}, V_{\hat{\xi}(X)}) : L(\mathfrak{p}, V_{\hat{\xi}(Y)})]$，该结果通过范畴的等价性实现。
• 广义Verma模的大致结构通过将问题约化至标准范畴$\mathcal{O}$而得以确定，此时Kazhdan-Lusztig组合数学适用。
• 广义Verma模$\Delta(\mathfrak{p}, L)$的不可约性等价于条件$w = \overline{w}$，其中$(x,w)$是对应于平凡中心特征标块中该模的配对。
• 本文在许多情形下为Kostant问题提供了肯定解答，特别是对具有平凡中心特征标的模，并通过转移函子将其推广至奇异情形。
• 余核范畴$\mathscr{Y}_{\overline{N}}$与$\mathscr{Y}_{L(y\cdot\mu)}$之间的等价性诱导了简单模之间的双射，并保持了正规标准对象的结构，从而实现了重数的传递。