[论文解读] Categorification of quantum symmetric pairs I

Huanchen Bao, Peng Shan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了量子群 $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ 的余代数子代数 $\dot{U}^\jmath$ 的 2-范畴化，推广了 Khovanov-Lauda-Rouquier 的量子群范畴化至量子对称对。它构造了一个 2-范畴 $\dot{U}^\jmath$，在特殊指标 $i = \diamond$ 处引入新关系，包括修正的 $\jmath$-Serre 关系与一种新型三重点关系，并证明自对偶的不可约 1-态射范畴化了 $\dot{U}^\jmath$ 的规范基。该范畴化可提升至类型 B/C 的 Schur 2-范畴与类型 B/C 的范畴 $\mathcal{O}$ 上的范畴作用，将 Schur 对偶推广至量子对称对。

ABSTRACT

We categorify a coideal subalgebra of the quantum group of $\mathfrak{sl}_{2r+1}$ by introducing a $2$-category à la Khovanov-Lauda-Rouquier, and show that self-dual indecomposable $1$-morphisms categorify the canonical basis of this algebra. This allows us to define a categorical action of this coideal algebra on the categories of modules over cohomology rings of partial flag varieties and on the BGG category $\mathcal{O}$ of type B/C.

研究动机与目标

• 构造一个 2-范畴 $\dot{U}^\jmath$，以范畴化 $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ 的余代数子代数 $\dot{U}^\jmath$。
• 将 Khovanov-Lauda-Rouquier 对量子群的范畴化推广至量子对称对的设定。
• 建立 $\dot{U}^\jmath$ 中自对偶的不可约 1-态射范畴化 $\dot{U}^\jmath$ 的规范基。
• 在类型 B/C 的部分旗流形的上同调环模范畴与类型 B/C 的范畴 $\mathcal{O}$ 上，定义 $\dot{U}^\jmath$ 的强范畴作用。

提出的方法

• 引入一个类似于 KLR 2-范畴 $\dot{U}$ 的 2-范畴 $\dot{U}^\jmath$，其生成元为 $E_i$、$F_i$，其中 $i = \diamond, \dots, r - \diamond$。
• 为特殊指标 $i = \diamond$ 定义新的 2-态射与关系，包括修正的 $\jmath$-Serre 关系与三重点关系（3.17）。
• 利用泡泡滑移公式与关系式（3.9）、（3.17）在 Grothendieck 群中证明范畴化的 $\jmath$-Serre 关系。
• 通过类型 B/C 中的 Soergel 双模与 Demazure 算子，在 Schur 2-范畴上构造 2-表示。
• 将作用提升至类型 B/C 的部分旗流形上同调环模范畴上的强范畴作用。
• 通过 Harish-Chandra 双模与余代数 $U^\jmath$，在类型 B/C 的范畴 $\mathcal{O}$ 上建立 $\dot{U}^\jmath$ 的范畴作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 2-范畴结构对 $U(\mathfrak{sl}_{2r+1})$ 的余代数子代数 $\dot{U}^\jmath$ 实现范畴化？
• RQ2 在 $\dot{U}^\jmath$ 的范畴化中，特殊指标 $i = \diamond$ 处出现哪些新关系？它们与标准 KLR 关系有何不同？
• RQ3 $\dot{U}^\jmath$ 的 2-范畴中自对偶的不可约 1-态射是否对应于 $\dot{U}^\jmath$ 的规范基？
• RQ4 能否通过泡泡滑移恒等式与新 2-态射关系证明范畴化的 $\jmath$-Serre 关系？
• RQ5 $\dot{U}^\jmath$ 是否在 Schur 2-范畴与类型 B/C 的范畴 $\mathcal{O}$ 上存在强范畴作用？

主要发现

• 2-范畴 $\dot{U}^\jmath$ 通过生成元 $E_i$、$F_i$ 与满足 $i = \diamond$ 处修正 $\jmath$-Serre 关系的新 2-态射被构造出来。
• 通过泡泡滑移恒等式与三重点关系（3.17）的结合，证明了范畴化的 $\jmath$-Serre 关系。
• 在 $\dot{U}^\jmath$ 中，自对偶的不可约 1-态射范畴化了 $\dot{U}^\jmath$ 的规范基，如定理 6.1 所示。
• $\dot{U}^\jmath$ 在类型 B/C 的 Schur 2-范畴上作用，其作用在 Grothendieck 群上退化为已知作用。
• 在类型 B/C 的部分旗流形上同调环模范畴上，构造了 $\dot{U}^\jmath$ 的强范畴作用。
• 通过 Harish-Chandra 双模，在类型 B/C 的范畴 $\mathcal{O}$ 上定义了 $\dot{U}^\jmath$ 的范畴作用，将弱作用扩展为强作用。