[论文解读] Categorification of Seidel's representation

François Charette, Octav Cornea|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在辛拓扑的两个基本构造之间建立了深度的范畴等价关系：Seidel 的哈密顿丛基本群的量子表示与拉格朗日子丛构造。证明了从 cobordism 范畴到导出 Fukaya 范畴的函子与这两个作用相容，表明范畴化的 Seidel 表示自然地通过这种函子相容性从子丛构造中产生。

ABSTRACT

Two natural symplectic constructions, the Lagrangian suspension and Seidel's quantum representation of the fundamental group of the group of Hamiltonian diffeomorphisms, Ham(M), with (M,ω) a monotone symplectic manifold, admit categorifications as actions of the fundamental groupoid Π(Ham(M)) on a cobordism category recently introduced in \cite{Bi-Co:cob2} and, respectively, on a monotone variant of the derived Fukaya category. We show that the functor constructed in \cite{Bi-Co:cob2} that maps the cobordism category to the derived Fukaya category is equivariant with respect to these actions.

研究动机与目标

• 关联辛拓扑中的两个核心构造：Seidel 的量子表示与拉格朗日子丛构造。
• 将这两个构造范畴化为基本群胚 Π(Ham(M)) 在不同范畴上的作用：cobordism 范畴 Cob₀^d(M) 与导出 Fukaya 范畴 D Fuk^d(M)。
• 确立 [BC13, BC14] 中引入的函子 F: Cob₀^d(M) → D Fuk^d(M) 关于这两个范畴化作用的等变性。
• 证明导出 Fukaya 范畴中的 Seidel 表示是拉格朗日子丛在函子 F 下的像。
• 通过统一的范畴框架统一多个相对 Seidel 同态的定义，证明其在同调意义下的等价性。

提出的方法

• 使用悬浮拉格朗日子cobordism，将拉格朗日子丛构造范畴化为 Π(Ham(M)) 在 cobordism 范畴 Cob₀^d(M) 上的作用。
• 使用全纯曲线上边界条件的移动，将 Seidel 的量子表示范畴化为 Π(Ham(M)) 在单调导出 Fukaya 范畴 D Fuk^d(M) 上的作用。
• 定义一个函子 F: Cob₀^d(M) → D Fuk^d(M)，将悬浮子cobordism 映射为导出 Fukaya 范畴中的态射。
• 证明该函子 F 关于两个 Π(Ham(M))-作用是等变的，即通过双函子的交换图实现作用的交织。
• 利用构造的函子性与同伦不变性，证明 F 下悬浮函子的像恢复了量子同调中的 Seidel 元素。
• 通过证明所有定义在同调中均给出同构态射，建立七种不同相对 Seidel 同态定义（例如通过 pearly 轨迹、全纯截面、移动边界曲线）之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉格朗日子丛构造如何自然地扩展为 Π(Ham(M)) 在 cobordism 范畴上的范畴化作用？
• RQ2 Seidel 的量子表示能否被范畴化为在导出 Fukaya 范畴上的作用？若能，其与子丛构造的关系为何？
• RQ3 函子 F: Cob₀^d(M) → D Fuk^d(M) 是否关于 Π(Ham(M)) 的两个范畴化作用是等变的？
• RQ4 多个几何定义的相对 Seidel 同态（例如通过 pearly 轨迹、全纯截面、移动边界曲线）在同调中是否给出同构结果？
• RQ5 函子 F 下悬浮函子的像与量子同调中的 Seidel 表示之间的确切关系为何？

主要发现

• 函子 F: Cob₀^d(M) → D Fuk^d(M) 关于 cobordism 范畴与导出 Fukaya 范畴上的 Π(Ham(M))-作用是等变的，建立了双函子的交换图。
• 函子 F 下悬浮子cobordism Ξ(w) 的像是量子同调中的 Seidel 元素 [w] ∈ QH(L_ℝ; ℤ₂)，表明范畴化子丛重现了量子单值性。
• F 的像包含 QH(L_ℝ) 中的子群 β_ℝ⁻¹(G_M)，在同构 QH(L_ℝ) ≅ QH(M) 下，表明 F 捕获了完整的 Seidel 表示。
• 所有七种相对 Seidel 同态的定义——通过移动边界曲线、pearly 轨迹、全纯截面、量子模作用——在同调中均被证明是链同伦等价或同构的。
• [HLL11] 中的等式 D = F 在范畴上得到解释：通过全纯截面定义的 Seidel 同态在函子 F 下对应于 pearly 轨迹同态。
• 该构造提供了一个统一的范畴框架，其中 Seidel 表示作为子丛构造在函子 F 下的像自然出现，从而实现了 Seidel 原始表示的范畴化。