[论文解读] Categorification of the braid groups

Raphaël Rouquier|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 48

一句话总结

本文通过索尔杰尔双模复形的严格张量范畴，对辫群进行了范畴化，提供了一种类高范畴结构，该结构提升了辫群在 triangulated 范畴上的作用。它通过到自同函子范畴的张量函子，建立了辫群的强作用，推广了表示论与代数几何中的经典作用。

ABSTRACT

We construct a categorification of the braid groups associated with Coxeter groups inside the homotopy category of Soergel's bimodules. Classical actions of braid groups on triangulated categories should come from an action of this monoidal category. We construct representations of this monoidal category on category O of a complex semi-simple Lie algebra and on constructible sheaves over flag varieties. We also consider general constructions of self-equivalences as reflections around another category.

研究动机与目标

• 构建一个严格张量范畴 ${\mathcal{B}}_W$，使其对 Coxeter 群 $W$ 的辫群 $B_W$ 实现范畴化。
• 将辫群在 triangulated 范畴上的经典作用推广到更强的、张量范畴的层次。
• 为表示论、代数几何与范畴论中辫群的作用提供统一的框架。
• 通过提升已知同构层次作用的函子，建立辫群在导出范畴上的真实作用。
• 证明此类作用可提升为从 ${\mathcal{B}}_W$ 到 triangulated 范畴自同函子范畴的张量函子。

提出的方法

• 将严格张量范畴 ${\mathcal{B}}_W$ 构造为多项式代数上索尔杰尔双模复形的同伦范畴的全子范畴。
• 利用阿基姆式范畴的理论及投射对象的无环复形中的函子性锥，定义函子之间的自然变换与锥。
• 利用 ${\mathbf{P}}^1$-纤维化与核变换的几何结构，构造分类化反射的自同等价。
• 应用索尔杰尔范畴 $\mathcal{O}$ 理论与德利涅对层的工作，将辫群作用从 $K_0$ 提升至导出范畴。
• 利用层的导出范畴中的伴随关系与基变换同构，验证函子的相容性与变换的自然性。
• 通过验证涉及拉回、推出与张量积的图示恒等式交换性，确立张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 辫群 $B_W$ 能否作为严格张量范畴在 triangulated 范畴上实现范畴化？
• RQ2 如何将辫群在 triangulated 范畴 $K_0$ 上的典型作用提升为实际的函子与自然变换？
• RQ3 索尔杰尔双模在实现范畴化辫群作用中扮演何种角色？
• RQ4 辫群在构造层或范畴 $\mathcal{O}$ 的导出范畴上的作用能否提升为从范畴化辫群到自同函子范畴的张量函子？
• RQ5 范畴化辫群作用与 Deligne-Lusztig 簇的上同调之间存在何种关系？

主要发现

• 构造了一个严格张量范畴 ${\mathcal{B}}_W$，其通过索尔杰尔双模复形对（猜想性）辫群 $B_W$ 实现范畴化。
• 该构造提供了一个 triangulated 范畴的自同等价，其分类化了反射，推广了通过球形对象实现的德恩变换概念。
• 在范畴 $\mathcal{O}$ 中，辫群在 $K_0$ 上的经典作用被提升为通过函子的真实作用，且进一步提升为从 ${\mathcal{B}}_W$ 到 $\mathrm{Hom}({\mathcal{C}},{\mathcal{C}})$ 的张量函子。
• 对于旗流形，辫群在构造层导出范畴上的作用从同构类提升为通过核变换实现的严格张量作用。
• 与旗流形上同调环的联系，为辫群作用提供了另一种证明方式，并将其扩展至更强的张量层次。
• 本文建立了一个未来研究的框架，包括生成元与关系的呈现、同调消去性，以及与 Deligne-Lusztig 簇的联系。