[论文解读] Categorifying Hecke algebras at prime roots of unity, part I

Ben Elias, You Qi|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文在 A 型图示 Hecke 族上引入了一种 p-微分格化（p-dg）结构，利用一种特殊的二次导数，该导数在 p-dg 格伦代克群中满足 Hecke 代数关系。本文证明了此类导数的存在性与唯一性（至多对偶与等价），并猜想 p-dg 格伦代克群同构于具有新基的 Iwahori-Hecke 代数，该基不同于 Kazhdan-Lusztig 基与 p-典范基。

ABSTRACT

We equip the type $A$ diagrammatic Hecke category with a special derivation, so that after specialization to characteristic $p$ it becomes a $p$-dg category. We prove that the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. We conjecture that the $p$-dg Grothendieck group is isomorphic to the Iwahori-Hecke algebra, equipping it with a basis which may differ from both the Kazhdan-Lusztig basis and the $p$-canonical basis. More precise conjectures will be found in the sequel. Here are some other results contained in this paper. We provide an incomplete proof of the classification of all degree $+2$ derivations on the diagrammatic Hecke category, and a complete proof of the classification of those derivations for which the defining relations of the Hecke algebra are satisfied in the $p$-dg Grothendieck group. In particular, our special derivation is unique up to duality and equivalence. We prove that no such derivation exists in simply-laced types outside of finite and affine type $A$. We also examine a particular Bott-Samelson bimodule in type $A_7$, which is indecomposable in characteristic $2$ but decomposable in all other characteristics. We prove that this Bott-Samelson bimodule admits no nontrivial fantastic filtrations in any characteristic, which is the analogue in the $p$-dg setting of being indecomposable.

研究动机与目标

• 在 A 型图示 Hecke 族上构造一种 p-微分格化（p-dg）结构，特化至特征 p。
• 证明 Iwahori-Hecke 代数的定义关系在 p-dg 格伦代克群中成立。
• 对图示 Hecke 族上满足 p-dg 格伦代克群中 Hecke 关系的所有二次导数进行分类。
• 研究此类导数在有限与仿射 A 型之外的单连通型中是否存在。
• 研究 Bott-Samelson 双模在 p-dg 结构下的行为，特别是在特征 2 时。

提出的方法

• 在图示 Hecke 族上赋予一种特殊的二次导数，该导数为整数且在特化至特征 p 后满足 dp = 0。
• 利用 p-dg 范畴与格伦代克群的理论，分析范畴在微分下的像。
• 应用“奇妙滤过”概念作为不可约性的 p-dg 类比，以研究双模结构。
• 通过厚演算与 Soergel 演算中的显式图示计算，验证关系。
• 利用对称性，如 180 度旋转与 Dynkin 图自同构，关联不同的微分计算。
• 分析 A8 型中特定 Bott-Samelson 双模的自同态环，以检测其在微分下是否不可分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在图示 Hecke 族上的二次导数，使得 Hecke 代数关系在 p-dg 格伦代克群中成立？
• RQ2 p-dg Hecke 族的导出范畴是否与在单位根为素数时的小量子群范畴等价？
• RQ3 p-dg 格伦代克群是否可能同构于具有新基的 Iwahori-Hecke 代数，且该基不等价于 Kazhdan-Lusztig 基或 p-典范基？
• RQ4 在有限与仿射 A 型之外的单连通型中是否存在非平凡的 p-dg 导数？
• RQ5 p-dg 结构是否以类似于奇妙滤过的方式检测不可约性，特别是在特征 2 时？

主要发现

• 本文在 A 型图示 Hecke 族上构造出唯一（至多对偶与等价）的二次导数，使得 Hecke 代数关系在 p-dg 格伦代克群中成立。
• 本文证明了在有限与仿射 A 型之外的单连通型中，此类导数不存在，确立了强烈的类型限制。
• 对于 S8 中特定序列对应的 Bott-Samelson 双模，p-dg 微分非零，且自同态 d(p)i 非零，意味着对象 By 在任何 dg-滤过中都不是 X 的直和项。
• 计算表明 d(p) ≠ 0 且 d(i) ≠ 0，其显式表达式涉及多项式 x1, x3, x6, x8，以及来自分裂-合并映射的非平凡自同态。
• A8 型中的例子表明，猜想的 d-典范基与 p-典范基及 Kazhdan-Lusztig 基均不同。
• 本文提供了满足 p-dg 格伦代克群中 Hecke 关系的导数的完整分类，以及所有二次导数的不完全分类。