[论文解读] Category forcings, $MM^{+++}$, and generic absoluteness for the theory of strong forcing axioms

Matteo Viale|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文引入了 $\text{MM}^{+++}$，一个扩展马丁最大化的强迫公理，作为静止集保持（SSP）完备布尔代数范畴的组合性质。它证明了 $\text{MM}^{+++}$ 确保了带有 $P(\beth_1)$ 中参数的昌模型 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 理论的泛型绝对性，使其成为将伍丁的泛型绝对性结果推广至该结构的最优扩展。

ABSTRACT

We introduce a category whose objects are stationary set preserving complete boolean algebras and whose arrows are complete homomorphisms with a stationary set preserving quotient. We show that the cut of this category at a rank initial segment of the universe of height a super compact which is a limit of super compact cardinals is a stationary set preserving partial order which forces $MM^{++}$ and collapses its size to become the second uncountable cardinal. Next we argue that any of the known methods to produce a model of $MM^{++}$ collapsing a superhuge cardinal to become the second uncountable cardinal produces a model in which the cutoff of the category of stationary set preserving forcings at any rank initial segment of the universe of large enough height is forcing equivalent to a presaturated tower of normal filters. We let $MM^{+++}$ denote this statement and we prove that the theory of $L(Ord^{ω_1})$ with parameters in $P(ω_1)$ is generically invariant for stationary set preserving forcings that preserve $MM^{+++}$. Finally we argue that the work of Larson and Asperó shows that this is a next to optimal generalization to the Chang model $L(Ord^{ω_1})$ of Woodin's generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^ω)$. It remains open whether $MM^{+++}$ and $MM^{++}$ are equivalent axioms modulo large cardinals and whether $MM^{++}$ suffices to prove the same generic absoluteness results for the Chang model $L(Ord^{ω_1})$.

研究动机与目标

• 开发一个自然的、递归的 ZFC + 大基数公理的扩展 $T$，使得其能为昌模型 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 提供一个完备的理论。
• 证明 $\text{MM}^{+++}$ 相对于大基数公理（特别是类多的超紧基数）是一致的。
• 证明 $\text{MM}^{+++}$ 确保在静止集保持强迫下，带有 $P(\beth_1)$ 中参数的 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 理论具有泛型不变性。
• 为强迫公理在解决集合论及相关领域中不可判定问题方面的成功提供一种事后的解释。
• 将伍丁关于 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$ 的泛型绝对性结果扩展到更强的结构 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$。

提出的方法

• 引入静止集保持完备布尔代数及其具有静止集保持商的完备同态的范畴 $(\text{SSP}, \text{SSP})$。
• 将 $\text{MM}^{+++}$ 定义为该范畴的组合性质，推广马丁最大和贝尔纲定理。
• 在类多超紧基数假设下，证明 $\text{U}^{\text{SSP}}$ 中存在 $\text{SSP}$-完全刚性元素，并确保此类元素的稠密性。
• 应用 SSP-强迫的冻结性性质，该性质允许在嵌入下控制强迫扩张的行为。
• 使用迭代强迫和嵌入（例如几乎巨大嵌入）分析 $\text{MM}^{+++}$ 在强迫扩张下的行为。
• 利用 $\text{U}^{\text{SSP}}$ 在集合大小递减序列、迭代和彩票和下的闭包性质，推导出泛型绝对性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将马丁最大化的强化形式化为静止集保持完备布尔代数范畴的组合性质？
• RQ2 $\text{MM}^{+++}$ 相对于大基数假设（特别是类多超紧基数）是否一致？
• RQ3 $\text{MM}^{+++}$ 是否确保在静止集保持强迫下，带有 $P(\beth_1)$ 中参数的 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 理论具有泛型不变性？
• RQ4 $\text{MM}^{+++}$ 与 $\text{MM}^{++}$ 相比，其一致性强度如何？能否从组合角度对其进行刻画？
• RQ5 SSP 范畴的冻结性性质及其他结构特征能否推广到其他类型的强迫，以获得类似的泛型绝对性结果？

主要发现

• 在类多超紧基数假设下，$\text{SSP}$-完全刚性偏序的类在 $\text{U}^{\text{SSP}}$ 中是稠密的。
• $\text{MM}^{+++}$ 相对于类多超紧基数的存在是一致的。
• 在 $<\text{inaccessible limit}$-超紧基数的基数初始段 $\text{inaccessible limit}$ 处的截断 $\text{U}^{\text{SSP}}_{\text{inaccessible limit}}$ 是一个吸收 $V_{\text{inaccessible limit}}$ 中所有 $\text{SSP}$-强迫的 $\text{SSP}$-完全刚性元素。
• 在 $\text{MM}^{+++}$ 和静止集保持强迫下，带有 $P(\beth_1)$ 中参数的 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 理论具有泛型绝对性。
• 这些结果代表了对伍丁关于 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_0})$ 的泛型绝对性结果向更强结构 $L([\text{Ord}]^{\to \beth_1})$ 推广的近乎最优扩展。
• 强迫公理在解决不可判定问题方面的成功，可通过 $\text{MM}^{+++}$ 的泛型不变性和最大性性质事后加以解释。